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Google Colaboratoryを参照のこと
(https://colab.research.google.com/drive/1mz7_XzDVadqZrEgyb-MnqFNvDDQZqW6y?usp=sharing)

1. 一般の場合
   
2. 固有振動の場合（周期が長い方）
   
3. 固有振動の場合（周期が短い方）
   
   

波数と振動数が、それぞれ、 $ \pm {\Delta k \over 2}, \pm {\Delta \omega \over 2} $ だけずれた2つの波があったとする。
$ A \sin( (k + \Delta k/2) x - (\omega + \Delta \omega /2 )t ) $
$ A \sin( (k - \Delta k/2) x - (\omega - \Delta \omega /2 )t ) $
これらの波を足し合わせると、三角関数についての公式から、次のように変形できる。
$ A \sin( (k + \Delta k/2) x - (\omega + \Delta \omega /2 )t ) + A \sin( (k - \Delta k/2) x - (\omega - \Delta \omega /2 )t ) $
$ =2 A \sin( kx - \omega t ) \cos( \Delta k x - \Delta \omega t) $
$ \cos $ で表される部分が、振幅の変調をあたえるようになっており、その部分は群速度$ \frac{\Delta \omega }{\Delta k} $で移動する。