Stirling(スターリング)の公式†
- 簡単な説明
上の図から、次のような大小関係が成り立つ。
$ \sum_{i=1}^{n-1} \log i < \int_1^n \log x dx < \sum_{i=1}^{n} \log i $
これを用いると、次のような大小関係も成り立つ。
$ \int_1^n \log x dx < \sum_{i=1}^{n} \log i < \int_1^{n+1} \log x dx $
ここで、各項は次のように評価できるので $ \log(n!) \sim n\log n - n $ がいえる。
- $ \int_1^n \log x dx = \left[x\log x - x\right]_1^n = n\log n - n +1 $
$ \sim n\log n -n $ (∵省略した項は n が十分大きいと n よりも小さくなる。)
- $ \sum_{i=1}^{n} \log i = \log(n!) $
- $ \int_1^{n+1} \log x dx = \left[x\log x - x\right]_1^{n+1} = (n+1)\log (n+1) - (n+1)+1 $
$ = (n+1)\log n\frac{n+1}{n} - n $
$ = n\log n\frac{n+1}{n} + \log n\frac{n+1}{n} - n $
$ = n\log n + n\log\frac{n+1}{n} + \log n + \log\frac{n+1}{n} - n $
$ \sim n\log n -n $ (∵省略した項は n が十分大きいと n よりも小さくなる。)
※ ひどい計算間違いを修正しました。2015-05-18 (月) 12:29:21
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