講義のページ/量子力学/１次元の非定常問題 - 講義のページ

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シュレディンガー方程式の数値積分～1次元の非定常問題 †

概要 †

数式による理解 †

1次元のシュレディンガー方程式
$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi$
シュレディンガー方程式は時間発展方程式の形をしている。そこで、これを数値積分して波動関数の時間発展を調べることができる。
分散関係
ポテンシャル $V(x) =0$ の場合、波動解 $\psi = \psi_0 e^{ikx-i\omega t}$ を代入すると以下の分散関係を得る。
- $V=0$ の場合
  $\omega = \frac{\hbar k^2}{2m}$
  - 位相速度 $c$
    分散関係から $c \equiv \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m}$
  - 群速度 $c_g$
    分散関係から $c_g \equiv \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\hbar k}{m} = 2 c$
    ド・ブロイの関係式から、 $\hbar k$ が運動量であるので、これを $m$ で割ったものである $c_g$ は粒子の速度になる。
- $V\neq 0$ の場合
  $\omega = \frac{\hbar k^2}{2m} + \frac{V}{\hbar}$
  - 位相速度 $c$
    分散関係から $c \equiv \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} + \frac{V}{\hbar k}$
    ・ポテンシャルエネルギー（正）があると、無い場合よりも位相速度が大きくなる。
    ・ポテンシャルエネルギー（正）がある場合、波数が小さくなると位相速度は大きくなる。
  - 群速度 $c_g$
    分散関係から $c_g \equiv \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\hbar k}{m}$
波の振る舞い
波動関数を実部 $\psi_r$ と虚部 $\psi_i$ に分けて考える。
$+\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi_r = \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi_i$
$-\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi_i = \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi_r$

波型の解を仮定すると、 $x$ で2回微分すると符号が逆転することに注意する。すると、虚部が実部に対して、1/4 波長位相が先行している方向に波が進むことがわかる。(丁寧に考えるとわかる。)

プログラミング †

計算機環境
- Google Colaboratory
- R + deSolve の ode
- ソースプログラム : https://colab.research.google.com/drive/1uZnKK38ZH6pjgbcM6s4rl7B3ErJ5Bmti
  - 利用方法：上記サイトに Google のIDでサインインしてからアクセスし、ファイル > ドライブにコピーを保存で保存し、編集した上で実行する。
パラメタなど
- 周期境界条件にした
- 計算領域は
- 方程式の性質を調べるために、 $\hbar = 1, m=1$ とした。

結果 †

1. 自由粒子 †

設定
V(x)=0 とした。(プログラムへのリンク)
アニメーション
ポイント：
1. 赤：実部、青：虚部、黒：実部と虚部をそれぞれ2乗して合計したもの。
2. 波は虚部（青）が実部（赤）に対して1/4波長先行している方向に進む。
3. 波束はばらけ、位置は時間とともにわかりにくくなる。
4. 波束(黒)の方が、実部・虚部の波の速さよりも速い。
5. 波束の速さは 10 であり、位相速度は 5 である。
6. 波束の先頭は波数が大きい（波長は短い）が、波束の後端は波数が小さい（波長が長い）。
x-t ダイアグラム

実部実部の2乗＋虚部の2乗

2. 箱型の障壁 †

設定
4.5～5.5 に V(x)=150 の障壁を置いた。(プログラムへのリンク)
アニメーション
ポイント：
1. 赤：実部、青：虚部、黒：実部と虚部をそれぞれ2乗して合計したもの。
2. 4.5～5.5の障壁の両端で反射が起こる。
3. 反射波があるところでは干渉が起きている。
4. 4.5～5.5の障壁の中でも、振動数 $\omega$ はほぼ一定であるのに、波数が小さく（波長が長く）なるため、位相速度は速くなり、群速度は遅くなる。
x-t ダイアグラム

実部実部の2乗＋虚部の2乗

3. 高いポテンシャルでの反射 †

設定
0～0.5 と 9.5～10 に V=1000 の障壁を置いた。(プログラムへのリンク)
アニメーション
ポイント：
1. 赤：実部、青：虚部、黒：実部と虚部をそれぞれ2乗して合計したもの。
2. 9.5で反射が起こる。
3. 干渉が起きる。
4. 干渉の幅は、時間とともに広がっていく。時間が経つと遅い波の反射によるので、波長が長くなる。
x-t ダイアグラム

実部実部の2乗＋虚部の2乗

4. 調和振動子ポテンシャル †

設定
調和振動子ポテンシャルを、古典論で計算して、ちょうど周期が１になるように設定した。(プログラムへのリンク)
アニメーション
ポイント：
1. 赤：実部、青：虚部、黒：実部と虚部をそれぞれ2乗して合計したもの。
2. ポテンシャルを $V(x) = \frac{1}{2} a x^2$ とする。調和振動子の周期 $T$ は、 $T= 2\pi \sqrt{\frac{m}{a}$ となる。
3. 波束は崩壊しない。
4. 折り返す点の周辺では、波長が長くなる（波数と運動量がゼロに近づく）。
5. 一方、波動関数の振動数は、あまり変わらない。
6. 上の2つの結果、折り返す点の周辺では位相速度が大きくなり、波束の速度（群速度）よりも速くなる。
x-t ダイアグラム

実部実部の2乗＋虚部の2乗

添付ファイル:

Harmonic_Packet_xt.png 116件 [詳細]

Harmonic_Real_xt.png 106件 [詳細]

Harmonic.png 189件 [詳細]

Wall_Real_xt.png 121件 [詳細]

Wall_Packet_xt.png 97件 [詳細]

Wall.png 93件 [詳細]

BOX.png 127件 [詳細]

Box_Real_xt.png 91件 [詳細]

Box_Packet_xt.png 100件 [詳細]

Free_Real_xt.png 95件 [詳細]

Free_Packet_xt.png 88件 [詳細]

Free_anim10051.png 81件 [詳細]

FreeParticle.png 89件 [詳細]

Last-modified: 2022-01-05 (水) 07:27:41