講義のページ/量子力学/1次元の非定常問題
https://robo.mydns.jp/Lecture/index.php?%B9%D6%B5%C1%A4%CE%A5%DA%A1%BC%A5%B8/%CE%CC%BB%D2%CE%CF%B3%D8/%A3%B1%BC%A1%B8%B5%A4%CE%C8%F3%C4%EA%BE%EF%CC%E4%C2%EA
[
トップ
] [
編集
|
凍結
|
差分
|
添付
|
リロード
] [
新規
| |
検索
|
最終更新
|
ヘルプ
|
ログイン
]
メニュー
†
春学期
専攻演習
LAセミナー
物理学概論
力学I
統計力学
物理学実験I
自然科学実験
秋学期
専攻演習
自然探究
人間理解
物理学概論
力学II
熱力学
物理学実験II
専攻入門
番外
Python
Maxima
量子力学
↑
Arduino
†
Arduino
既製品の Arduino を使う
Arduino の自作
Arduino のプログラム開発環境を整える
↑
電子工作
†
IFTTT
ESP32
Littlebits
↑
研究
†
研究のページ
Top
/
講義のページ
/
量子力学
/
1次元の非定常問題
シュレディンガー方程式の数値積分〜1次元の非定常問題
†
↑
概要
†
↑
数式による理解
†
1次元のシュレディンガー方程式
シュレディンガー方程式は時間発展方程式の形をしている。そこで、これを数値積分して波動関数の時間発展を調べることができる。
分散関係
ポテンシャル
の場合、波動解
を代入すると以下の分散関係を得る。
の場合
位相速度
分散関係から
群速度
分散関係から
ド・ブロイの関係式から、
が運動量であるので、これを
で割ったものである
は粒子の速度になる。
の場合
位相速度
分散関係から
・ ポテンシャルエネルギー(正)があると、無い場合よりも位相速度が大きくなる。
・ ポテンシャルエネルギー(正)がある場合、波数が小さくなると位相速度は大きくなる。
群速度
分散関係から
波の振る舞い
波動関数を実部
と虚部
に分けて考える。
波型の解を仮定すると、
で2回微分すると符号が逆転することに注意する。すると、虚部が実部に対して、1/4 波長位相が先行している方向に波が進むことがわかる。(丁寧に考えるとわかる。)
↑
プログラミング
†
計算機環境
Google Colaboratory
R + deSolve の ode
ソースプログラム
:
https://colab.research.google.com/drive/1uZnKK38ZH6pjgbcM6s4rl7B3ErJ5Bmti
利用方法:上記サイトに Google のIDでサインインしてからアクセスし、ファイル > ドライブにコピーを保存 で保存し、編集した上で実行する。
パラメタなど
周期境界条件にした
計算領域は
方程式の性質を調べるために、
とした。
↑
結果
†
↑
1. 自由粒子
†
設定
V(x)=0 とした。(
プログラムへのリンク
)
アニメーション
ポイント:
1. 赤:実部、青:虚部、黒:実部と虚部をそれぞれ2乗して合計したもの。
2. 波は虚部(青)が実部(赤)に対して1/4波長先行している方向に進む。
3. 波束はばらけ、位置は時間とともにわかりにくくなる。
4. 波束(黒)の方が、実部・虚部の波の速さよりも速い。
5. 波束の速さは 10 であり、位相速度は 5 である。
6. 波束の先頭は波数が大きい(波長は短い)が、波束の後端は波数が小さい(波長が長い)。
x-t ダイアグラム
実部
実部の2乗+虚部の2乗
↑
2. 箱型の障壁
†
設定
4.5〜5.5 に V(x)=150 の障壁を置いた。(
プログラムへのリンク
)
アニメーション
ポイント:
1. 赤:実部、青:虚部、黒:実部と虚部をそれぞれ2乗して合計したもの。
2. 4.5〜5.5の障壁の両端で反射が起こる。
3. 反射波があるところでは干渉が起きている。
4. 4.5〜5.5の障壁の中でも、振動数
はほぼ一定であるのに、波数が小さく(波長が長く)なるため、位相速度は速くなり、群速度は遅くなる。
x-t ダイアグラム
実部
実部の2乗+虚部の2乗
↑
3. 高いポテンシャルでの反射
†
設定
0〜0.5 と 9.5〜10 に V=1000 の障壁を置いた。(
プログラムへのリンク
)
アニメーション
ポイント:
1. 赤:実部、青:虚部、黒:実部と虚部をそれぞれ2乗して合計したもの。
2. 9.5で反射が起こる。
3. 干渉が起きる。
4. 干渉の幅は、時間とともに広がっていく。時間が経つと遅い波の反射によるので、波長が長くなる。
x-t ダイアグラム
実部
実部の2乗+虚部の2乗
↑
4. 調和振動子ポテンシャル
†
設定
調和振動子ポテンシャルを、古典論で計算して、ちょうど周期が1になるように設定した。(
プログラムへのリンク
)
アニメーション
ポイント:
1. 赤:実部、青:虚部、黒:実部と虚部をそれぞれ2乗して合計したもの。
2. ポテンシャルを
とする。調和振動子の周期
は、
となる。
3. 波束は崩壊しない。
4. 折り返す点の周辺では、波長が長くなる(波数と運動量がゼロに近づく)。
5. 一方、波動関数の振動数は、あまり変わらない。
6. 上の2つの結果、折り返す点の周辺では位相速度が大きくなり、波束の速度(群速度)よりも速くなる。
x-t ダイアグラム
実部
実部の2乗+虚部の2乗
添付ファイル:
Harmonic_Packet_xt.png
115件
[
詳細
]
Harmonic_Real_xt.png
105件
[
詳細
]
Harmonic.png
188件
[
詳細
]
Wall_Real_xt.png
120件
[
詳細
]
Wall_Packet_xt.png
96件
[
詳細
]
Wall.png
92件
[
詳細
]
BOX.png
126件
[
詳細
]
Box_Real_xt.png
90件
[
詳細
]
Box_Packet_xt.png
100件
[
詳細
]
Free_Real_xt.png
94件
[
詳細
]
Free_Packet_xt.png
87件
[
詳細
]
Free_anim10051.png
80件
[
詳細
]
FreeParticle.png
88件
[
詳細
]
Last-modified: 2022-01-05 (水) 07:27:41
Link:
講義のページ/量子力学
講義のページ