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１質点の１次元の運動 †

運動方程式 †

はじめに
未来を予知するための運動方程式に基づいて、数値積分によって１質点の１次元の運動をシミュレートする。
例1: 単振動の例
- もとの微分方程式
  単振動(ばね定数 $k'$ を質量 $m$ で割ったものを $k$ とおく。)
  
  $\begin{eqnarray} m\frac{d^2 x}{dt^2} &=& - k'x \\ \frac{d^2 x}{dt^2} &=& - kx \end{eqnarray}$
  
  ２階の微分はそのままでは数値積分しにくいので、媒介となる変数 $v$ （というか速度）を導入して、１階の微分だけにする。
  
  $\begin{eqnarray} \frac{d x}{dt} &=& v \\ \frac{dv}{dt} &=& - kx \end{eqnarray}$
  - 差分化
    計算機は連続量や極限は扱えない。
    $\begin{eqnarray} \frac{\Delta x}{\Delta t} &=& v \\ \frac{\Delta v}{\Delta t} &=& - kx \end{eqnarray}$
    あるいは、次のようにする。
    $\begin{eqnarray} \Delta x &=& v \Delta t \\ \Delta v &=& - kx \Delta t \end{eqnarray}$
    時刻を差分化して考える。 $n$ 番目の時刻の値を、添字で表す。
```
       Xn-1    Xn    Xn+1
       Vn-1    Vn    Vn+1
-│-----│-----│-----│-----│---→ t

 │-Δt-│
```
    時間発展を表す式は次のようになる。
    $\begin{eqnarray} x_{n+1} & = & x_n + v_n \Delta t \\ v_{n+1} & = & v_n - k x_n \Delta t \end{eqnarray}$
    これは、テイラー展開の１次の項まで計算したことに該当する。

テイラー展開 †

基本的な考え方
次の２つの関数は、 $x = 0$ で、4階の微分係数まで一致する。（確認すること）
$\begin{eqnarray} f(x) & & \\ f_4(x) & = & f(0) + f'(0) x + \frac{1}{2} f''(0) x^2 + \frac{1}{3!} f^{(3)}(0) x^3 + \frac{1}{4!} f^{(4)}(0) x^4 \end{eqnarray}$
Maxima による $\sin(x)$ の例
$x=0$ 付近はもちろん、かなり先まで、よく近似されている。

時間発展の計算 †

目的
この時間発展を表すプログラムを作成する。

添付ファイル:

IMG_3092.jpg 37件 [詳細]

Taylor_Maxima_sin.png 40件 [詳細]

Last-modified: 2023-06-04 (日) 01:38:42