講義のページ/力学2009S/Maxima/慣性モーメント - 講義のページ

[ トップ ] [ 編集 | 凍結 | 差分 | 添付 | リロード ] [ 新規 | | 検索 | 最終更新 | ヘルプ | ログイン ]

メニュー †

春学期

秋学期
番外

Arduino †

Arduino

電子工作 †

研究 †

研究のページ

Top/講義のページ/力学2009S/Maxima/慣性モーメント

10章慣性モーメントの計算 †

cf. p. 263

a. 輪 †

どの場所も回転軸からの距離が R で一定であるので、計算は簡単になる。
$\int \rho r^2 dV = R^2 \int \rho dV = R^2 M$

c. 円柱(あるいは円盤) †

計算式
$\int_{-R}^R \int_{-\sqrt{R^2-y^2}}^{\sqrt{R^2-y^2}} \rho (x^2+y^2) dx dy$
$M = \rho \pi R^2$

integrate( rho * (x^2+y^2), x, -sqrt(R^2 - y^2), sqrt(R^2-y^2));
integrate( %, y, -R, R );
ratsubst( M, rho * %pi * R^2, %);

b. 中空円柱 †

外側の円柱の慣性モーメントから内側の円柱の慣性モーメントを差し引く。
```
1/2 * M2 * R2^2 - 1/2 * M1 * R1^2;
```
ただし、質量を M とすると、M = M2-M1, M2=M1×(R2^2/R1^2)である。
```
solve( M + M1 = M1 * (R2^2/R1^2), M1);
```
その答えを使うと…
```
ratsubst(     M * R1^2 /(R2^2 -R1^2), M1, 1/2 * M2 * R2^2 - 1/2 * M1 * R1^2);
ratsubst( M + M * R1^2 /(R2^2 -R1^2), M2, %);
```

d. 長方形 †

計算式
$\int_{-b/2}^{b/2} \int_{-a/2}^{a/2} \rho (x^2+y^2) dx dy$
$M= \rho ab$

integrate( rho * (x^2+y^2), x, -a/2, a/2);
integrate( %, y, -b/2, b/2);
ratsubst( M, rho * a * b, %);

e. 棒(中心の周り) †

integrate( rho * x^2, x, -L/2, L/2);
ratsubst(M, rho * L, %);

f. 棒(端の周り) †

integrate( rho * x^2, x, 0, L);
ratsubst(M, rho * L, %);

g. 球 †

integrate( rho * (x^2+y^2), x, -sqrt(R^2-y^2-z^2), sqrt(R^2-y^2-z^2));
integrate( %, y, -sqrt(R^2-z^2), sqrt(R^2-z^2));
integrate( %, z, -R, R);
ratsubst( M, 4/3*%pi*R^3*rho, %);

h. 球殻 †

上の計算で、3行目までを実行すると、結果は $\frac{8}{15}\pi\rho R^5$ である。
これよりも $\Delta R$ だけ半径が大きい球との慣性モーメントの差は、近似的に
```
diff( 8/15*%pi*rho*R^5, R);
```
から、 $\frac{8}{3}\pi\rho R^4 \Delta R$ であり、これが答えになる。
ただし、全体の質量は、 $4\pi \rho R^2$ であるので、これを用いると、 $\frac{2}{3} MR^2$ となる。
```
diff( 8/15*%pi*rho*R^5, R);
% * DeltaR;
ratsubst( M, 4*%pi*rho*R^2*DeltaR, %);
```

Last-modified: 2021-11-25 (木) 12:20:06