![[PukiWiki]](image/ROBO192.png "[PukiWiki]")
#author("2022-01-05T16:21:58+09:00","external:moriat","moriat") #author("2022-01-05T16:27:41+09:00","external:moriat","moriat") #topicpath * シュレディンガー方程式の数値積分〜1次元の非定常問題 [#yb613df0] ** 概要 [#l8ec04b8] *** 数式による理解 [#kd9e7a1e] - 1次元のシュレディンガー方程式~ $ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi $ ~ シュレディンガー方程式は時間発展方程式の形をしている。そこで、これを数値積分して波動関数の時間発展を調べることができる。~ ~ - 分散関係~ // ポテンシャル$ V(x) =0 $の場合、波動解$ \psi = \psi_0 \exp( ikx-i\omega t) $を代入すると、$ V=0 $の場合には以下の分散関係を得る。~ ポテンシャル$ V(x) =0 $の場合、波動解$ \psi = \psi_0 e^{ikx-i\omega t} $を代入すると以下の分散関係を得る。~ -- $ V=0 $の場合~ $ \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} $ ~ --- 位相速度$ c $~ 分散関係から$ c \equiv \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} $~ ~ --- 群速度$ c_g $~ 分散関係から$ c_g \equiv \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\hbar k}{m} = 2 c $~ ド・ブロイの関係式から、$ \hbar k $が運動量であるので、これを$ m $で割ったものである$ c_g $は粒子の速度になる。~ ~ -- $ V\neq 0 $の場合~ $ \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} + \frac{V}{\hbar} $ ~ --- 位相速度$ c $~ 分散関係から$ c \equiv \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} + \frac{V}{\hbar k} $~ ・ ポテンシャルエネルギー（正）があると、無い場合よりも位相速度が大きくなる。~ ・ ポテンシャルエネルギー（正）がある場合、波数が小さくなると位相速度は大きくなる。 ~ --- 群速度$ c_g $~ 分散関係から$ c_g \equiv \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\hbar k}{m} $~ ~ - 波の振る舞い~ 波動関数を実部$ \psi_r $と虚部$ \psi_i $に分けて考える。~ $ +\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi_r = \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi_i $~ $ -\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi_i = \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi_r $~ ~ 波型の解を仮定すると、$ x $で2回微分すると符号が逆転することに注意する。すると、虚部が実部に対して、1/4 波長位相が先行している方向に波が進むことがわかる。(丁寧に考えるとわかる。)~ ~ *** プログラミング [#o964e0af] - 計算機環境 -- Google Colaboratory -- R + deSolve の ode -- [[ソースプログラム>https://colab.research.google.com/drive/1uZnKK38ZH6pjgbcM6s4rl7B3ErJ5Bmti]] : https://colab.research.google.com/drive/1uZnKK38ZH6pjgbcM6s4rl7B3ErJ5Bmti ~ --- 利用方法：上記サイトに Google のIDでサインインしてからアクセスし、ファイル > ドライブにコピーを保存 で保存し、編集した上で実行する。 - パラメタなど -- 周期境界条件にした -- 計算領域は -- 方程式の性質を調べるために、$ \hbar = 1 $とした。 -- 方程式の性質を調べるために、$ \hbar = 1, m=1 $とした。 ** 結果 [#he0d9745] *** 1. 自由粒子 [#ke55cf3b] - 設定~ V(x)=0 とした。([[プログラムへのリンク>https://colab.research.google.com/drive/1uuRv7-6e-Y8Hcs7xE9ETNGTxiOp_3tLH?usp=sharing]]) - アニメーション~ ポイント：~ 1. 赤：実部、青：虚部、黒：実部と虚部をそれぞれ2乗して合計したもの。~ 2. 波は虚部（青）が実部（赤）に対して1/4波長先行している方向に進む。~ 3. 波束はばらけ、位置は時間とともにわかりにくくなる。~ 4. 波束(黒)の方が、実部・虚部の波の速さよりも速い。~ 5. 波束の速さは 10 であり、位相速度は 5 である。~ 6. 波束の先頭は波数が大きい（波長は短い）が、波束の後端は波数が小さい（波長が長い）。~ &ref(FreeParticle.png,,50%);~ &ref(Free_anim10051.png,,50%);~ - x-t ダイアグラム~ #style(class=table_left) |実部 | 実部の2乗＋虚部の2乗 |h |&ref(Free_Real_xt.png,,30%);|&ref(Free_Packet_xt.png,,30%);| #clear *** 2. 箱型の障壁 [#j207cf61] - 設定~ 4.5〜5.5 に V(x)=150 の障壁を置いた。([[プログラムへのリンク>https://colab.research.google.com/drive/1lcDfadiCczhtXJCoD05bAkPy3aId7zZ8?usp=sharing]]) - アニメーション~ ポイント：~ 1. 赤：実部、青：虚部、黒：実部と虚部をそれぞれ2乗して合計したもの。~ 2. 4.5〜5.5の障壁の両端で反射が起こる。~ 3. 反射波があるところでは干渉が起きている。~ 4. 4.5〜5.5の障壁の中でも、振動数$ \omega $はほぼ一定であるのに、波数が小さく（波長が長く）なるため、位相速度は速くなり、群速度は遅くなる。~ &ref(BOX.png,,50%);~ - x-t ダイアグラム~ #style(class=table_left) |実部 | 実部の2乗＋虚部の2乗 |h |&ref(Box_Real_xt.png,,30%);|&ref(Box_Packet_xt.png,,30%);| ~ *** 3. 高いポテンシャルでの反射 [#eaa7c135] - 設定~ 0〜0.5 と 9.5〜10 に V=1000 の障壁を置いた。([[プログラムへのリンク>https://colab.research.google.com/drive/1H9PfY3iXjilYyNrQjX6kgORTlxbxPAQc?usp=sharing]]) - アニメーション~ ポイント：~ 1. 赤：実部、青：虚部、黒：実部と虚部をそれぞれ2乗して合計したもの。~ 2. 9.5で反射が起こる。~ 3. 干渉が起きる。~ 4. 干渉の幅は、時間とともに広がっていく。時間が経つと遅い波の反射によるので、波長が長くなる。~ &ref(Wall.png,,50%);~ - x-t ダイアグラム~ #style(class=table_left) |実部 | 実部の2乗＋虚部の2乗 |h |&ref(Wall_Real_xt.png,,30%);|&ref(Wall_Packet_xt.png,,30%);| ~ *** 4. 調和振動子ポテンシャル [#qbd9060e] - 設定~ 調和振動子ポテンシャルを、古典論で計算して、ちょうど周期が１になるように設定した。([[プログラムへのリンク>https://colab.research.google.com/drive/1tuV0CRzE-qTeD6_DC0dkAOIOHSJFq8Sc?usp=sharing]]) - アニメーション~ ポイント：~ 1. 赤：実部、青：虚部、黒：実部と虚部をそれぞれ2乗して合計したもの。~ 2. ポテンシャルを$ V(x) = \frac{1}{2} a x^2 $とする。調和振動子の周期$ T $は、$ T= 2\pi \sqrt{\frac{m}{a} $となる。~ 3. 波束は崩壊しない。~ 4. 折り返す点の周辺では、波長が長くなる（波数と運動量がゼロに近づく）。~ 5. 一方、波動関数の振動数は、あまり変わらない。~ 6. 上の2つの結果、折り返す点の周辺では位相速度が大きくなり、波束の速度（群速度）よりも速くなる。~ &ref(Harmonic.png,,50%);~ - x-t ダイアグラム~ #style(class=table_left) |実部 | 実部の2乗＋虚部の2乗 |h |&ref(Harmonic_Real_xt.png,,30%);|&ref(Harmonic_Packet_xt.png,,30%);| ~
