講義のページ/統計物理学/Stirlingの公式 - 講義のページ

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Stirling(スターリング)の公式 †

簡単な説明

上の図から、次のような大小関係が成り立つ。
$\sum_{i=1}^{n-1} \log i < \int_1^n \log x dx < \sum_{i=1}^{n} \log i$
これを用いると、次のような大小関係も成り立つ。
$\int_1^n \log x dx < \sum_{i=1}^{n} \log i < \int_1^{n+1} \log x dx$
ここで、各項は次のように評価できるので $\log(n!) \sim n\log n - n$ がいえる。
- $\int_1^n \log x dx = \left[x\log x - x\right]_1^n = n\log n - n +1$
  $\sim n\log n -n$ (∵省略した項は n が十分大きいと n よりも小さくなる。)
- $\sum_{i=1}^{n} \log i = \log(n!)$
- $\int_1^{n+1} \log x dx = \left[x\log x - x\right]_1^{n+1} = (n+1)\log (n+1) - (n+1)+1$
  $= (n+1)\log n\frac{n+1}{n} - n$
  $= n\log n\frac{n+1}{n} + \log n\frac{n+1}{n} - n$
  $= n\log n + n\log\frac{n+1}{n} + \log n + \log\frac{n+1}{n} - n$
  $\sim n\log n -n$ (∵省略した項は n が十分大きいと n よりも小さくなる。)

※ ひどい計算間違いを修正しました。2015-05-18 (月) 12:29:21

添付ファイル:

Stirling.png 983件 [詳細]

Last-modified: 2015-05-18 (月) 12:29:21