![[PukiWiki]](image/ROBO192.png "[PukiWiki]")
#author("2023-06-04T10:38:27+09:00","external:moriat","moriat") #author("2023-06-04T10:38:42+09:00","external:moriat","moriat") #topicpath ** １質点の１次元の運動 [#yf70a039] *** 運動方程式 [#e19830c7] - はじめに~ 未来を予知するための運動方程式に基づいて、数値積分によって１質点の１次元の運動をシミュレートする。~ ~ - 例1: 単振動の例 -- もとの微分方程式~ 単振動(ばね定数$ k' $を質量$ m $で割ったものを$ k $とおく。)~ $$ \begin{eqnarray} m\frac{d^2 x}{dt^2} &=& - k'x \\ \frac{d^2 x}{dt^2} &=& - kx \end{eqnarray} $$ ~ ２階の微分はそのままでは数値積分しにくいので、媒介となる変数$ v $（というか速度）を導入して、１階の微分だけにする。~ $$ \begin{eqnarray} \frac{d x}{dt} &=& v \\ \frac{dv}{dt} &=& - kx \end{eqnarray} $$ --- 差分化~ 計算機は連続量や極限は扱えない。 $$ \begin{eqnarray} \frac{\Delta x}{\Delta t} &=& v \\ \frac{\Delta v}{\Delta t} &=& - kx \end{eqnarray} $$ あるいは、次のようにする。 $$ \begin{eqnarray} \Delta x &=& v \Delta t \\ \Delta v &=& - kx \Delta t \end{eqnarray} $$ 時刻を差分化して考える。$ n $番目の時刻の値を、添字で表す。 Xn-1 Xn Xn+1 Vn-1 Vn Vn+1 -│-----│-----│-----│-----│---→ t │-Δt-│ 時間発展を表す式は次のようになる。 $$ \begin{eqnarray} x_{n+1} & = & x_n + v_n \Delta t \\ v_{n+1} & = & v_n - k x_n \Delta t \end{eqnarray} $$ これは、テイラー展開の１次の項まで計算したことに該当する。 *** テイラー展開 [#jcd15a9a] - 基本的な考え方~ 次の２つの関数は、$ x = 0 $で、4階の微分係数まで一致する。（確認すること） $$ \begin{eqnarray} f(x) & & \\ f_4(x) & = & f(0) + f'(0) x + \frac{1}{2} f''(0) x^2 + \frac{1}{3!} f^{(3)}(0) x^3 + \frac{1}{4!} f^{(4)}(0) x^4 \end{eqnarray} $$ ~ - Maxima による$ \sin(x) $の例~ $ x=0 $付近はもちろん、かなり先まで、よく近似されている。~ &ref(Taylor_Maxima_sin.png,,12%);~ &ref(IMG_3092.jpg,,20%); &ref(IMG_3092.jpg,,40%); *** 時間発展の計算 [#t6d25b56] - 目的~ この時間発展を表すプログラムを作成する。
