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** 6章 章末問題 [#ic38a81e]
*** 06.07 [#wabe48b9]
** 6章 章末問題 [#jf28fb41]
*** 06.07 [#tab9001c]
-- 準備: ~
宇宙船の軌道半径は $ 1.8\times 10^6 $[m] となる。
+++ 運動方程式 $ G\frac{Mm}{r^2} = m a $ から、$ a = G \frac{M}{r^2} $ 
 6.8 * 10^-11 * 7.4 * 10^22 / ( 1.8*10^6 )^2;
から答えは 1.55 [m/s^2]
+++ 等速円運動の加速度は $ \frac{v^2}{r} $ である。これが、1.7[m/s^2] と等しいことから求まる。
 solve ( v^2/(1.8* 10^6) = 1.55, v );
 float(%);
答えは 1.67[km/s]
+++ 周期は次のように求める。
 2 * %pi * 1.8 * 10^6 / 1670;
 float(%);
答えは 6800 秒

*** 06.08 [#g2e988ab]
*** 06.08 [#d1ddef67]
+++ 向心加速度 $ \frac{v^2}{r} $ が重力によって得られればそのようになる。
 solve( v^2/18=9.8,  v);
 float(%);
答えは 13.3 [m/s]

*** 06.13 [#wb913e33]
*** 06.13 [#wf9e5f94]
+++ 中心に向かう摩擦力
+++ 静止摩擦係数を $ \mu $ と置くと次式が成り立つ。~
$ \mu m g = m \frac{v^2}{r} $
 solve( \mu * 9.8 = (0.5)^2/0.3, \mu );
 float(%);
よって答えは 0.085


*** 06.19 [#xda84453]
*** 06.19 [#c3d47015]
+++ 求める力の大きさを $ F $ とする。すると、次式が成り立つ。~
$ mg - F = m r \omega^2 $
 solve( 55 * 9.8 - F = 55 * 20 * ( 2*%pi / 9.0 )^2, F);
 float(%);
答えは 2.87 [N]
 
*** 06.21 [#m71c78f0]
*** 06.21 [#xfc800a6]
+++ 最下点での半径方向の運動方程式を立てる。~
$ T - m g = m \frac{v^2}{r} $~
$ T - 85 * 9.8 = 85 \times \frac{8^2}{10} $
 solve( T - 85 * 9.8 = 85 * 64/10 , T);
T は 1377 [N] であるので、ロープは切れる。


*** 06.39 [#y8ef548e]
*** 06.39 [#la5491af]
+++ 略
+++ このテキストでは、「重量」は、重力の大きさを意味し、[N] の単位で表現されている。そこで、それぞれの場所での重力の大きさを示す。~
極点での重力加速度は 9.800 [m/s^2] である。そこで、75 [kg]×9.800[m/s^2] = 735.0 [N] である。~
赤道では重力加速度は 9.766 [m/s^2] である。そこで、75 [kg]×9.766[m/s^2] = 732.5 [N] である。ちなみに、極点で正しく表示される体重計に載ると、体重計に示されるのは、75 * 9.766/9.800=74.74[kg] と表示される。

*** 06.44 [#h7feb616]
*** 06.44 [#l990c83c]
+++ 運動方程式を斜面に沿った方向と、斜面に垂直な方向で考える。~
等速円運動の加速度は、中心軸方向に$ \frac{v^2}{r} $の加速度を持つ。~
今回の場合には、物体と共に回転する座標系で、遠心力 $ m \frac{v^2}{r} $ が作用していると考える。~
$ N - mg \sin\theta - m \frac{v^2}{L \cos \theta} \sin\theta= 0 $~
$ mg \cos\theta - m \frac{v^2}{L \cos \theta} \cos\theta= 0 $~
これらを解く。
 solve( [ N - m*g*sin(theta) - m * v^2/( L * cos(theta) ) * sin(theta)= 0, m * g * cos(theta) - m * v^2 / L = 0], [N, v]);
よって、 $ v = \sqrt{g L \sin\theta} $


*** 06.49 [#z5e6eafc]
*** 06.49 [#jc742c89]
-- この問題でも遠心力を用いて考える。~
垂直抗力 $ N $ は $ m R \omega^2 = m R \frac{4\pi^2}{T^2}$ に等しい。~
垂直抗力 $ N $ は $ m R \omega^2 = m R \frac{4\pi^2}{T^2} $ に等しい。~
これに摩擦係数 $ \mu $ を掛け合わせると、鉛直方向の(最大)摩擦力がわかる。~
鉛直方向には、重力と摩擦力がつり合っている。
+++ そこで、次式を解けばわかる。
 solve( mu * m* R * (4*%pi^2)/T^2 = m * g, T );
よって、$ T = 2\pi \sqrt{\frac{\mu R}{g}} $
+++ 
 2 * %pi * sqrt( 0.4 * 4 / 9.8 );
周期は 2.54 秒, 1分間には、60/2.54 = 23.6 回転


*** 06.52 [#d1b329c3]
*** 06.52 [#y024f000]
-- 方程式を立てる。~
$ r = 4 + 2.5 \sin \theta $~
$ T\sin\theta = m \frac{v^2}{r} $~
$ T\cos\theta = m g $
 solve( [ r = 4 + 2.5 * sin(theta), T * sin(theta) = m * v^2 / r, T * cos(theta) = m * g], [T, v, r]);
+++ 
 subst( 28/180*%pi, theta, %);
 subst( 9.8, g, %);
 float(%);
よって、5.19[m/s]
+++ 
 subst( 50, m, %);
よって555[N]

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