講義のページ/力学2009S/Maxima/章末06 - 講義のページ

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6章　章末問題 †

06.07 †

準備:
宇宙船の軌道半径は $1.8\times 10^6$ [m] となる。
1. 運動方程式 $G\frac{Mm}{r^2} = m a$ から、 $a = G \frac{M}{r^2}$
```
6.8 * 10^-11 * 7.4 * 10^22 / ( 1.8*10^6 )^2;
```
  から答えは 1.55 [m/s^2]
2. 等速円運動の加速度は $\frac{v^2}{r}$ である。これが、1.7[m/s^2] と等しいことから求まる。
```
solve ( v^2/(1.8* 10^6) = 1.55, v );
float(%);
```
  答えは 1.67[km/s]
3. 周期は次のように求める。
```
2 * %pi * 1.8 * 10^6 / 1670;
float(%);
```
  答えは 6800 秒

06.08 †

向心加速度 $\frac{v^2}{r}$ が重力によって得られればそのようになる。
```
solve( v^2/18=9.8,  v);
float(%);
```
答えは 13.3 [m/s]

06.13 †

中心に向かう摩擦力
静止摩擦係数を $\mu$ と置くと次式が成り立つ。
$\mu m g = m \frac{v^2}{r}$
```
solve( \mu * 9.8 = (0.5)^2/0.3, \mu );
float(%);
```
よって答えは 0.085

06.19 †

求める力の大きさを $F$ とする。すると、次式が成り立つ。
$mg - F = m r \omega^2$
```
solve( 55 * 9.8 - F = 55 * 20 * ( 2*%pi / 9.0 )^2, F);
float(%);
```
答えは 2.87 [N]

06.21 †

最下点での半径方向の運動方程式を立てる。
$T - m g = m \frac{v^2}{r}$
$T - 85 * 9.8 = 85 \times \frac{8^2}{10}$
```
solve( T - 85 * 9.8 = 85 * 64/10 , T);
```
T は 1377 [N] であるので、ロープは切れる。

06.39 †

略
このテキストでは、「重量」は、重力の大きさを意味し、[N] の単位で表現されている。そこで、それぞれの場所での重力の大きさを示す。
極点での重力加速度は 9.800 [m/s^2] である。そこで、75 [kg]×9.800[m/s^2] = 735.0 [N] である。
赤道では重力加速度は 9.766 [m/s^2] である。そこで、75 [kg]×9.766[m/s^2] = 732.5 [N] である。ちなみに、極点で正しく表示される体重計に載ると、体重計に示されるのは、75 * 9.766/9.800=74.74[kg] と表示される。

06.44 †

運動方程式を斜面に沿った方向と、斜面に垂直な方向で考える。
等速円運動の加速度は、中心軸方向に $\frac{v^2}{r}$ の加速度を持つ。
今回の場合には、物体と共に回転する座標系で、遠心力 $m \frac{v^2}{r}$ が作用していると考える。
$N - mg \sin\theta - m \frac{v^2}{L \cos \theta} \sin\theta= 0$
$mg \cos\theta - m \frac{v^2}{L \cos \theta} \cos\theta= 0$
これらを解く。
```
solve( [ N - m*g*sin(theta) - m * v^2/( L * cos(theta) ) * sin(theta)= 0, m * g * cos(theta) - m * v^2 / L = 0], [N, v]);
```
よって、 $v = \sqrt{g L \sin\theta}$

06.49 †

この問題でも遠心力を用いて考える。
垂直抗力 $N$ は $m R \omega^2 = m R \frac{4\pi^2}{T^2}$ に等しい。
これに摩擦係数 $\mu$ を掛け合わせると、鉛直方向の(最大)摩擦力がわかる。
鉛直方向には、重力と摩擦力がつり合っている。
1. そこで、次式を解けばわかる。
```
solve( mu * m* R * (4*%pi^2)/T^2 = m * g, T );
```
  よって、 $T = 2\pi \sqrt{\frac{\mu R}{g}}$
```
2 * %pi * sqrt( 0.4 * 4 / 9.8 );
```
  周期は 2.54 秒, 1分間には、60/2.54 = 23.6 回転

06.52 †

方程式を立てる。
$r = 4 + 2.5 \sin \theta$
$T\sin\theta = m \frac{v^2}{r}$
$T\cos\theta = m g$

solve( [ r = 4 + 2.5 * sin(theta), T * sin(theta) = m * v^2 / r, T * cos(theta) = m * g], [T, v, r]);

subst( 28/180*%pi, theta, %);
subst( 9.8, g, %);
float(%);

よって、5.19[m/s]

subst( 50, m, %);

よって555[N]

Last-modified: 2009-06-07 (日) 12:59:16