#topicpath * Stirling(スターリング)の公式 [#d354cfab] - 簡単な説明~ &ref(Stirling.png);~ 上の図から、次のような大小関係が成り立つ。~ $ \sum_{i=1}^{n-1} \log i < \int_1^n \log x dx < \sum_{i=1}^{n} \log i $~ これを用いると、次のような大小関係も成り立つ。~ $ \int_1^n \log x dx < \sum_{i=1}^{n} \log i < \int_1^{n+1} \log x dx $~ ここで、各項は次のように評価できるので $ \log(n!) \sim n\log n - n $ がいえる。~ -- $ \int_1^n \log x dx = \left[x\log x - x\right]_1^n = n\log n - n $ -- $ \sum_{i=1}^{n} \log i = \log(n!) $ -- $ \int_1^{n+1} \log x dx = \left[x\log x - x\right]_1^{n+1} = (n+1)\log (n+1) - (n+1) = (n+1)\log n\frac{n+1}{n} - n-1 $~ $ = n\log n\frac{n+1}{n} + \log n\frac{n+1}{n} - n-1 $~ $ = n\log n + n\log\frac{n+1}{n} + \log n + \log\frac{n+1}{n} - n-1 $~ $ \sim n\log n -n $ (∵省略した項は n が十分大きいと n よりも小さくなる。)~