#topicpath ** 6章 章末問題 [#ic38a81e] *** 06.07 [#wabe48b9] ** 6章 章末問題 [#jf28fb41] *** 06.07 [#tab9001c] -- 準備: ~ 宇宙船の軌道半径は $ 1.8\times 10^6 $[m] となる。 +++ 運動方程式 $ G\frac{Mm}{r^2} = m a $ から、$ a = G \frac{M}{r^2} $ 6.8 * 10^-11 * 7.4 * 10^22 / ( 1.8*10^6 )^2; から答えは 1.55 [m/s^2] +++ 等速円運動の加速度は $ \frac{v^2}{r} $ である。これが、1.7[m/s^2] と等しいことから求まる。 solve ( v^2/(1.8* 10^6) = 1.55, v ); float(%); 答えは 1.67[km/s] +++ 周期は次のように求める。 2 * %pi * 1.8 * 10^6 / 1670; float(%); 答えは 6800 秒 *** 06.08 [#g2e988ab] *** 06.08 [#d1ddef67] +++ 向心加速度 $ \frac{v^2}{r} $ が重力によって得られればそのようになる。 solve( v^2/18=9.8, v); float(%); 答えは 13.3 [m/s] *** 06.13 [#wb913e33] *** 06.13 [#wf9e5f94] +++ 中心に向かう摩擦力 +++ 静止摩擦係数を $ \mu $ と置くと次式が成り立つ。~ $ \mu m g = m \frac{v^2}{r} $ solve( \mu * 9.8 = (0.5)^2/0.3, \mu ); float(%); よって答えは 0.085 *** 06.19 [#xda84453] *** 06.19 [#c3d47015] +++ 求める力の大きさを $ F $ とする。すると、次式が成り立つ。~ $ mg - F = m r \omega^2 $ solve( 55 * 9.8 - F = 55 * 20 * ( 2*%pi / 9.0 )^2, F); float(%); 答えは 2.87 [N] *** 06.21 [#m71c78f0] *** 06.21 [#xfc800a6] +++ 最下点での半径方向の運動方程式を立てる。~ $ T - m g = m \frac{v^2}{r} $~ $ T - 85 * 9.8 = 85 \times \frac{8^2}{10} $ solve( T - 85 * 9.8 = 85 * 64/10 , T); T は 1377 [N] であるので、ロープは切れる。 *** 06.39 [#y8ef548e] *** 06.39 [#la5491af] +++ 略 +++ このテキストでは、「重量」は、重力の大きさを意味し、[N] の単位で表現されている。そこで、それぞれの場所での重力の大きさを示す。~ 極点での重力加速度は 9.800 [m/s^2] である。そこで、75 [kg]×9.800[m/s^2] = 735.0 [N] である。~ 赤道では重力加速度は 9.766 [m/s^2] である。そこで、75 [kg]×9.766[m/s^2] = 732.5 [N] である。ちなみに、極点で正しく表示される体重計に載ると、体重計に示されるのは、75 * 9.766/9.800=74.74[kg] と表示される。 *** 06.44 [#h7feb616] *** 06.44 [#l990c83c] +++ 運動方程式を斜面に沿った方向と、斜面に垂直な方向で考える。~ 等速円運動の加速度は、中心軸方向に$ \frac{v^2}{r} $の加速度を持つ。~ 今回の場合には、物体と共に回転する座標系で、遠心力 $ m \frac{v^2}{r} $ が作用していると考える。~ $ N - mg \sin\theta - m \frac{v^2}{L \cos \theta} \sin\theta= 0 $~ $ mg \cos\theta - m \frac{v^2}{L \cos \theta} \cos\theta= 0 $~ これらを解く。 solve( [ N - m*g*sin(theta) - m * v^2/( L * cos(theta) ) * sin(theta)= 0, m * g * cos(theta) - m * v^2 / L = 0], [N, v]); よって、 $ v = \sqrt{g L \sin\theta} $ *** 06.49 [#z5e6eafc] *** 06.49 [#jc742c89] -- この問題でも遠心力を用いて考える。~ 垂直抗力 $ N $ は $ m R \omega^2 = m R \frac{4\pi^2}{T^2}$ に等しい。~ 垂直抗力 $ N $ は $ m R \omega^2 = m R \frac{4\pi^2}{T^2} $ に等しい。~ これに摩擦係数 $ \mu $ を掛け合わせると、鉛直方向の(最大)摩擦力がわかる。~ 鉛直方向には、重力と摩擦力がつり合っている。 +++ そこで、次式を解けばわかる。 solve( mu * m* R * (4*%pi^2)/T^2 = m * g, T ); よって、$ T = 2\pi \sqrt{\frac{\mu R}{g}} $ +++ 2 * %pi * sqrt( 0.4 * 4 / 9.8 ); 周期は 2.54 秒, 1分間には、60/2.54 = 23.6 回転 *** 06.52 [#d1b329c3] *** 06.52 [#y024f000] -- 方程式を立てる。~ $ r = 4 + 2.5 \sin \theta $~ $ T\sin\theta = m \frac{v^2}{r} $~ $ T\cos\theta = m g $ solve( [ r = 4 + 2.5 * sin(theta), T * sin(theta) = m * v^2 / r, T * cos(theta) = m * g], [T, v, r]); +++ subst( 28/180*%pi, theta, %); subst( 9.8, g, %); float(%); よって、5.19[m/s] +++ subst( 50, m, %); よって555[N]