講義のページ/力学2009S/Maxima/章末10 のバックアップ(No.2) - 講義のページ

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10章　例題・章末問題 †

例題 10.11 †

円板についての回転運動の運動方程式、物体についての運動方程式を立てる
$TR = I \alpha$
$mg - T = m a$
ただし、 $a$ と $\alpha$ は、次の関係式で関係づけられている。 $a = R \alpha$ これらを解く。
```
solve( [T*R=I * alpha, m*g -T= m*a, a=R * alpha], [T, a, alpha]);
```

10.10 †

初期の角速度はゼロである。車が 30 m/s に達したとき、車の角速度は
```
solve( 30 = 0.2 * omega, omega );
```
150 rad/s である。6秒間でこの角速度に達したのであるから、角加速度は
```
(150-0)/6;
```
25 rad/s^2 となる。

10.17 †

(a) 定義通りに計算する。

2*(2^2+3^2) + 3*((-2)^2+3^2) + 2*((-2)^2+(-3)^2) + 4*(2^2+(-3)^2);

143 [kg・m^2]

(b) 定義通りに計算する。
```
1/2 * 143 * 6^2;
```
2574 ～ 2.57×10^3 [J]

10.21 †

まず、 $x$ の関数として慣性モーメント I を表す。
```
I(x) := m * (L-x)^2 + M * x^2;
```
これを $x$ で微分し、微分した値が 0 になるような $x$ が I の最小値を与える。
```
solve( diff(I(x), x) = 0, x );
```
これから、 $x = \frac{m}{m+M} L$ を得る。
これを元の I(x) に代入する。
```
I( m/(m+M) * L );
ratsimp(%);
```

10.25 †

定義通り計算する。

-10*b - 9*b + 12*a;
ratsubst( 0.1, a, %);
ratsubst( 0.25, b, %);
float(%);

10.43 †

(a) 運動エネルギー保存の法則から回転速度 $\omega$ を求めることができる。
```
solve( M*g*(L/2) = 1/2 * ( 1/3 * M * L^2 ) * omega^2, omega);
```
(b) このとき、棒に加えられているトルクは $Mg(L/2)$ である。
```
solve( M * g * (L/2) = (1/3 * M * L^2 ) * alpha, alpha );
```
(c) 中心方向の加速度は、(a)で求めた角速度で等速円運動しているとしたときの加速度に等しい。
```
-(L/2) * ( sqrt( 3 * g / L ))^2;
```
接線方向の加速度は、角加速度に半径 (L/2) をかけたものに等しい。
```
-(L/2) * ( 3*g/(2*L) );
```
(d) 質量中心の加速度は、外力(重力とピンから受ける抗力)から運動方程式を用いて決定される。x 成分は次の通り。
```
-M*(L/2) * ( sqrt( 3 * g / L ))^2;
```
y 成分は次の通り。
```
-M*(L/2) * ( 3*g/(2*L) ) + M*g;
```