#topicpath ** van der Waals の状態方程式について [#y98a85e9] - コメント~ 気体の状態方程式に限らず、与えられた数式をグラフとして描画できることは、理系として~ ぜひ、身につけておきたい資質である。もちろん、Excel 等を用いて構わない。しかし、世~ の中には大変便利なツールが数多くあるので、それらを利用できると、一層便利である。~ 特に、パラメタに対する依存性を調べたいときには、Excel 等の表計算ソフトより、別の~ ツールの方が便利であることが多い。~ ~ - 目次 -- [[Maximaの場合>#z366c9b4]] -- [[gnuplot の場合>#w2f9d130]] -- [[Geogebra の場合>#d1480be3]] ~ *** Maxima で計算 [#z366c9b4] -- 状態方程式; P(V,RT,N,a,b) := N*RT/( V- b*N) - a * N^2/V^2; := で関数を定義している。関数の引数は複数でもよい。~ ~ --「臨界状態の V, RT, P」 ''を'' 「a, b」 ''で'' 表現; result1 : solve( [diff(P(V,RT,N,a,b),V)=0, diff(diff(P(V,RT,N,a,b),V),V)=0], [V,RT])[1]; solve() の部分で、∂P/∂V=0 と、∂^2P/∂V^2=0 $ \left( \frac{\partial p}{\partial V}=0 , \frac{\partial^2 p}{\partial V^2}=0 \right) $ の両方を満たす V, RT を求めている。~ 連立方程式は [ ] 内で、"," でつないで書き連ねる。解く変数も同様に[ ] 内に書く。~ 解いた結果は result1 に代入される。: は代入を表す。~ ~ P(rhs(result1[1]), rhs(result1[2]), N, a, b); result1 には複数(V, RT)の変数=値という式が並んでいる。その1番めは result1[1] で取り出し、右辺の値は、rhs() で取り出している。~ それを P() に代入している。~ ~ 以上の結果を以下にまとめる。 --- 臨界温度 : $ T_c = \frac{8a}{27b R} $ --- 臨界圧力 : $ P_c = \frac{a}{27 b} $ --- その時の体積 : $ V_c = 3 b N $ ~ -- 規格化された van der Waals の状態方程式 P( v * 3 * b * N, t * 8 * a / 27 / b / R, N, a, b ); ratsimp(%); factor(%); ~ --「臨界状態の V, RT」 ''で'' 「P, a, b」 ''を'' 表現; result2 : solve( [diff(P(V,RT,N,a,b),V)=0, diff(diff(P(V,RT,N,a,b),V),V)=0], [a,b])[1]; P(V, RT, N, rhs(result2[1]), rhs(result2[2])); *** gnuplot で描画 [#w2f9d130] -- gnuplot 用の記述 # # van der Waals の状態方程式を # 臨界点での温度と体積で規格化する。 # # パラメタ # N = 1.0 RTc = 1.0 Vc = 1.0 a = 9.0*RTc*Vc/(8.0*N) b = Vc/(3.0*N) set yrange [0:1] set xrange [0.4:5] # # 状態方程式 PR:実在気体 PI:理想気体 # PR(V,RT) = N*RT/(V-b*N) - a*N**2/V**2 PI(V,RT) = N*RT/V # # 確認のため表示 # ( gnuplot で整数の割り算には注意。truncation が起こる) # print 1/3 print PR(1,1) # # X11 # set term x11 0 plot PR(x,2), PR(x,1.5), PR(x,1.2), PR(x,1.1), PR(x,1.0), PR(x,0.90) set term x11 1 plot PI(x,2), PI(x,1.5), PI(x,1.2), PI(x,1.1), PI(x,1.0), PI(x,0.90) # # gif # # set term gif small x808080 x909090 xA0A0A0 xB0B0B0 xC0C0C0 xD0D0D0 ; set output "VanDerWaals_PR.gif" set term gif small; set output "VanDerWaals_PR.gif" plot PR(x,2), PR(x,1.5), PR(x,1.2), PR(x,1.1), PR(x,1.0), PR(x,0.90) set term gif small; set output "VanDerWaals_PI.gif" plot PI(x,2), PI(x,1.5), PI(x,1.2), PI(x,1.1), PI(x,1.0), PI(x,0.90) quit ~ -- 結果 理想気体の場合 van der Waals 気体~ &ref(VanDerWaals_PI.gif,,320x240); &ref(VanDerWaals_PR.gif,,320x240); ~ -- 3次元的な描画 f(RT,V) = RT/(V-1./3.)-9./8./V/V set isosamples 20 set contour both set cntrp le inc 0,0.5,2 set xrange[0.7:1.5] set yrange[0.4:1.5] set zrange[0:2] splot f(x,y) *** Geogebra による描画 [#d1480be3] - Web へ埋め込んだ結果~ #htmlinsert(GeoGebraSample12.txt)