![[PukiWiki]](image/ROBO192.png "[PukiWiki]")
#author("2021-11-25T12:18:21+09:00","external:moriat","moriat") #author("2021-11-25T12:20:06+09:00","external:moriat","moriat") #topicpath ** 10章 慣性モーメントの計算 [#n1193698] -- cf. p. 263 *** a. 輪 [#kd7a6375] -- どの場所も回転軸からの距離が R で一定であるので、計算は簡単になる。~ $ \int \rho r^2 dV = R^2 \int \rho dV = R^2 M $ *** c. 円柱(あるいは円盤) [#f7520c5a] -- 計算~ -- 計算式~ $ \int_{-R}^R \int_{-\sqrt{R^2-y^2}}^{\sqrt{R^2-y^2}} \rho (x^2+y^2) dx dy $~ $ M = \rho \pi R^2 $ -- integrate( rho * (x^2+y^2), x, -sqrt(R^2 - y^2), sqrt(R^2-y^2)); integrate( %, y, -R, R ); ratsubst( M, rho * %pi * R^2, %); *** b. 中空円柱 [#hdf4c3b0] -- 外側の円柱の慣性モーメントから内側の円柱の慣性モーメントを差し引く。 1/2 * M2 * R2^2 - 1/2 * M1 * R1^2; ただし、質量を M とすると、M = M2-M1, M2=M1×(R2^2/R1^2)である。 solve( M + M1 = M1 * (R2^2/R1^2), M1); その答えを使うと… ratsubst( M * R1^2 /(R2^2 -R1^2), M1, 1/2 * M2 * R2^2 - 1/2 * M1 * R1^2); ratsubst( M + M * R1^2 /(R2^2 -R1^2), M2, %); *** d. 長方形 [#z0163847] -- 計算式~ $ \int_{-b/2}^{b/2} \int_{-a/2}^{a/2} \rho (x^2+y^2) dx dy $~ $ M= \rho ab $ -- integrate( rho * (x^2+y^2), x, -a/2, a/2); integrate( %, y, -b/2, b/2); ratsubst( M, rho * a * b, %); *** e. 棒(中心の周り) [#pca9ad8b] -- integrate( rho * x^2, x, -L/2, L/2); ratsubst(M, rho * L, %); *** f. 棒(端の周り) [#z8a8ed91] -- integrate( rho * x^2, x, 0, L); ratsubst(M, rho * L, %); *** g. 球 [#g122843e] -- integrate( rho * (x^2+y^2), x, -sqrt(R^2-y^2-z^2), sqrt(R^2-y^2-z^2)); integrate( %, y, -sqrt(R^2-z^2), sqrt(R^2-z^2)); integrate( %, z, -R, R); ratsubst( M, 4/3*%pi*R^3*rho, %); *** h. 球殻 [#p69fea54] -- 上の計算で、3行目までを実行すると、結果は$ \frac{8}{15}\pi\rho R^5 $である。~ これよりも$ \Delta R $だけ半径が大きい球との慣性モーメントの差は、近似的に~ diff( 8/15*%pi*rho*R^5, R); から、$ \frac{8}{3}\pi\rho R^4 \Delta R $ であり、これが答えになる。~ ただし、全体の質量は、$ 4\pi \rho R^2 $であるので、これを用いると、$ \frac{2}{3} MR^2 $ となる。 diff( 8/15*%pi*rho*R^5, R); % * DeltaR; ratsubst( M, 4*%pi*rho*R^2*DeltaR, %);
