講義のページ/力学2009S/Maxima/慣性モーメント
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#topicpath
** 10章 慣性モーメントの計算 [#n1193698]
-- cf. p. 263
*** a. 輪 [#kd7a6375]
-- どの場所も回転軸からの距離が R で一定であるので、計算...
$ \int \rho r^2 dV = R^2 \int \rho dV = R^2 M $
*** c. 円柱(あるいは円盤) [#f7520c5a]
-- 計算式~
$ \int_{-R}^R \int_{-\sqrt{R^2-y^2}}^{\sqrt{R^2-y^2}} \rh...
$ M = \rho \pi R^2 $
--
integrate( rho * (x^2+y^2), x, -sqrt(R^2 - y^2), sqrt(R^...
integrate( %, y, -R, R );
ratsubst( M, rho * %pi * R^2, %);
*** b. 中空円柱 [#hdf4c3b0]
-- 外側の円柱の慣性モーメントから内側の円柱の慣性モーメン...
1/2 * M2 * R2^2 - 1/2 * M1 * R1^2;
ただし、質量を M とすると、M = M2-M1, M2=M1×(R2^2/R1^2)で...
solve( M + M1 = M1 * (R2^2/R1^2), M1);
その答えを使うと…
ratsubst( M * R1^2 /(R2^2 -R1^2), M1, 1/2 * M2 * R2^...
ratsubst( M + M * R1^2 /(R2^2 -R1^2), M2, %);
*** d. 長方形 [#z0163847]
-- 計算式~
$ \int_{-b/2}^{b/2} \int_{-a/2}^{a/2} \rho (x^2+y^2) dx d...
$ M= \rho ab $
--
integrate( rho * (x^2+y^2), x, -a/2, a/2);
integrate( %, y, -b/2, b/2);
ratsubst( M, rho * a * b, %);
*** e. 棒(中心の周り) [#pca9ad8b]
--
integrate( rho * x^2, x, -L/2, L/2);
ratsubst(M, rho * L, %);
*** f. 棒(端の周り) [#z8a8ed91]
--
integrate( rho * x^2, x, 0, L);
ratsubst(M, rho * L, %);
*** g. 球 [#g122843e]
--
integrate( rho * (x^2+y^2), x, -sqrt(R^2-y^2-z^2), sqrt(...
integrate( %, y, -sqrt(R^2-z^2), sqrt(R^2-z^2));
integrate( %, z, -R, R);
ratsubst( M, 4/3*%pi*R^3*rho, %);
*** h. 球殻 [#p69fea54]
-- 上の計算で、3行目までを実行すると、結果は$ \frac{8}{15...
これよりも$ \Delta R $だけ半径が大きい球との慣性モーメン...
diff( 8/15*%pi*rho*R^5, R);
から、$ \frac{8}{3}\pi\rho R^4 \Delta R $ であり、これが...
ただし、全体の質量は、$ 4\pi \rho R^2 $であるので、これを...
diff( 8/15*%pi*rho*R^5, R);
% * DeltaR;
ratsubst( M, 4*%pi*rho*R^2*DeltaR, %);
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#topicpath
** 10章 慣性モーメントの計算 [#n1193698]
-- cf. p. 263
*** a. 輪 [#kd7a6375]
-- どの場所も回転軸からの距離が R で一定であるので、計算...
$ \int \rho r^2 dV = R^2 \int \rho dV = R^2 M $
*** c. 円柱(あるいは円盤) [#f7520c5a]
-- 計算式~
$ \int_{-R}^R \int_{-\sqrt{R^2-y^2}}^{\sqrt{R^2-y^2}} \rh...
$ M = \rho \pi R^2 $
--
integrate( rho * (x^2+y^2), x, -sqrt(R^2 - y^2), sqrt(R^...
integrate( %, y, -R, R );
ratsubst( M, rho * %pi * R^2, %);
*** b. 中空円柱 [#hdf4c3b0]
-- 外側の円柱の慣性モーメントから内側の円柱の慣性モーメン...
1/2 * M2 * R2^2 - 1/2 * M1 * R1^2;
ただし、質量を M とすると、M = M2-M1, M2=M1×(R2^2/R1^2)で...
solve( M + M1 = M1 * (R2^2/R1^2), M1);
その答えを使うと…
ratsubst( M * R1^2 /(R2^2 -R1^2), M1, 1/2 * M2 * R2^...
ratsubst( M + M * R1^2 /(R2^2 -R1^2), M2, %);
*** d. 長方形 [#z0163847]
-- 計算式~
$ \int_{-b/2}^{b/2} \int_{-a/2}^{a/2} \rho (x^2+y^2) dx d...
$ M= \rho ab $
--
integrate( rho * (x^2+y^2), x, -a/2, a/2);
integrate( %, y, -b/2, b/2);
ratsubst( M, rho * a * b, %);
*** e. 棒(中心の周り) [#pca9ad8b]
--
integrate( rho * x^2, x, -L/2, L/2);
ratsubst(M, rho * L, %);
*** f. 棒(端の周り) [#z8a8ed91]
--
integrate( rho * x^2, x, 0, L);
ratsubst(M, rho * L, %);
*** g. 球 [#g122843e]
--
integrate( rho * (x^2+y^2), x, -sqrt(R^2-y^2-z^2), sqrt(...
integrate( %, y, -sqrt(R^2-z^2), sqrt(R^2-z^2));
integrate( %, z, -R, R);
ratsubst( M, 4/3*%pi*R^3*rho, %);
*** h. 球殻 [#p69fea54]
-- 上の計算で、3行目までを実行すると、結果は$ \frac{8}{15...
これよりも$ \Delta R $だけ半径が大きい球との慣性モーメン...
diff( 8/15*%pi*rho*R^5, R);
から、$ \frac{8}{3}\pi\rho R^4 \Delta R $ であり、これが...
ただし、全体の質量は、$ 4\pi \rho R^2 $であるので、これを...
diff( 8/15*%pi*rho*R^5, R);
% * DeltaR;
ratsubst( M, 4*%pi*rho*R^2*DeltaR, %);
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