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4章　章末問題 †

04.04 †

位置ベクトル ${\bf r}(t)$ は

r(t) := 18 * t * i + ( 4 * t - 4.9 * t^2 ) * j;

${\bf r}(t) = 18t{\bf i} + (4t -4.9t^2) {\bf j}$

速度ベクトル ${\bf v}(t)$ は、上の結果を微分して得られる。
```
v(t) := diff( r(t), t);
v(t);
```
${\bf v}(t) = 18{\bf i} + (4 -9.8t) {\bf j}$
加速度ベクトル ${\bf a}(t)$ は、上の結果を微分して得られる。
```
a(t) := diff( v(t), t);
a(t);
```
${\bf a}(t) = -9.8t {\bf j}$
以下、 $t=3$ を代入する。
```
r(3);
```
${\bf r}(3) = 54{\bf i} -32.1 {\bf j}$
同様に
```
v(3);
```
${\bf v}(3) = 18 {\bf i} -25.4 {\bf j}$
同様に
```
a(3);
```
${\bf a}(3) = -9.8 {\bf j}$

↑

04.12 †

x 方向の位置は、x座標 $x=vo t$ と表される。一方、y方向の位置は y座標 $y=-\frac{1}{2} g t^2$ と表される。これらから t を消去する。
```
eliminate( [ x = vo * t, y = -1/2*g*t^2], [t]);
solve( %, y);
```
上に示した。
上の式に代入して答えを求める。
```
solve( -0.21 = - 9.8 * ( 3.0 )^2 / 2 / vx^2 , vx );
float(%);
```
答えは 14.5 m/s

↑

04.16 †

飛行時間は、最高点に達するまでの時間と最高点から落下するまでの時間の和となる。
```
solve( 1.90 - 1.00 = 1/2 * 9.8 * t1^2, t1);
solve( 1.90 - 0.15 = 1/2 * 9.8 * t2^2, t2);
float( 3/7 + sqrt( 5/ 14 ) );~
```
答えは 1.03[s]
水平方向の速度: 1.03 秒間に 8.90[m] 飛んだことから求まる。
```
float(8.90/1.03);
```
答えは 8.64[m/s]
鉛直方向成分は、 $t1$ の間に鉛直方向の速度がゼロになったことから求まる。
```
float( 9.8 * 3/7 );
```
答えは 4.2 [m/s]
飛び出す角度は atan2 を用いて求められる。
```
float( atan2( 4.2, 8.64) / %pi * 180 );
```
答えは 25.9度
(別解)
次のように4つの式を連立して解く。t1 は最高点に達したときの時刻、t2 は着地したときの時刻である。
```
solve( [ 8.90 = vx * t2, 
         1.90 = 1.00 + vy * t1 - 1/2 * 9.8 * t1^2,
         0.15 = 1.00 + vy * t2 - 1/2 * 9.8 * t2^2,
         0 = vy - 9.8 * t1],
        [vx, vy, t1, t2]);
float(%);
```
答えは4組でてくる。それぞれ、どのような物理学的な意味があるのか、考えてみよう。

↑

04.18 †

x 方向と y 方向の運動の式を用いて解く。

solve( [ 50 = 40 * cos( 30/180 * %pi ) * t, y = 40 * sin( 30/180 * %pi ) * t - 1/2 * 9.8 * t^2], [t, y ]);
float(%);

答え 18.7 m

↑

04.22 †

4.18 式を用いる。
最大飛距離は 45 度の角度で打ち上げたときであることに注意する。
```
float( solve(150 = v^2 / 9.8, v ) );
```
打ち出した時の速度は 38.3[m/s] である。これを 20 度で打ち出す。
```
float( 38.3^2 * sin ( 20 * 2 /180*%pi )/9.8 );
```
答えは 96.2 [m] となる。

↑

04.26 †

次の式を連立して解く。

solve( [ x = 8 * cos( 20 / 180 * %pi) * 3, y = -8 * sin( 20 / 180 * %pi )*3 - 1/2 * 9.8 * 3^2 ], [ x, y ]);
float(%);

答え 22.6m

同様に答え %46.8m% 52.3m
y 方向には等加速度運動を行う。そこで次のようになる。
```
solve( -10 = -8 * sin( 20 / 180 * %pi ) * t - 1/2 * 9.8 * t^2, t );
```
解を吟味して、1.18 s を採用する。

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04.36 †

題意より 0.60 [m/s $^2$ ]
速度の2乗を半径で割れば良い。
```
float( 4^2/20 );
```
答えは 0.80 [m/s $^2$ ]
大きさは2乗平均をとる。また、角度は atan2 を用いる。
```
sqrt( 0.60^2 + 0.80^2 );
float( atan2( 0.80, 0.60) / %pi * 180 );
```
答えは、大きさが 1.0 で、角度は進行方向から 53 度ずれた方向

↑

04.39 †

運動の様子を考えると、最上点で速さは最低になり、最下点で速さは最高になる。つまり、最上点と最下点では、軌道に沿った加速度がゼロになる。どちらも中心向きに次の大きさの加速度になる。
```
float( (4.3)^2/0.6 );
float( (6.5)^2/0.6 );
```

↑

04.48 †

図を描いて考える。すると、 $200 \sin \theta = 50$ であることに気づく。これを解く。
```
solve( 200 *sin(theta) = 50, theta);
float( % / %pi * 180 );
```
答えは 14.5 度である。
図から $200 \cos \theta$ が答えである。
```
float( 200 * cos( 14.5 / 180 * %pi ));
```
答えは 194[km/h]

↑

04.52 †

教授が観察する水平方向の速度はゼロである。
このことから、学生が打ち出したボールの速度の水平方向成分は、電車の速度と大きさが同じである。
打ち出したボールの速さを $v$ とすると、 $10 = v \cos 60^o$ となる。これを解く。
```
solve( 10 = v * cos( 60 /180 * %pi ), v );
```
こうして得られた打ち上げ時の速さ 20 [m/s]から、打ち上げ時の鉛直速度を求める。
```
v1 : 20 * sin( 60/ 180 * %pi );
```
速度 $v1$ で打ち上げたボールは、時間 $v1/g$ かけて速度がゼロになり、最高点に達する。そこで、最大到達高度は次のようになる。
```
1/2 * 9.8 * (v1/9.8)^2;
```
答えは 15.3 [m]

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04.61 †

打ち出された地点の高度は、1.5 + 1.2 sin 30° = 2.1 [m] である。
1. ちょっと、一般的に議論してみよう。
  高度 $h$ から、速度 ${\bf v} = (vx, vy)$ をもって打ち出された物体はどこまで到達するだろうか。
  速度 0 の最高点に達するまでの時間を $t1$ , 最高点から地表まで落下するまでの時間を $t2$ とする。すると、
```
t1(vy) := vy/g;
solve( 1/2 * g * (t2)^2 = 1/2 * g * t1(vy)^2 + h, t2 );
t2(vy,h) := sqrt( vy^2 + 2 * g * h )/g;
```
  求める距離 $\ell$ は $vy ( t1 + t2 )$ である。
```
l(vx,vy,h) := vx * ( t1(vy) + t2(vy,h) );
l(vx,vy,h);
```
  こうして新たな公式 $\ell = \left( \sqrt{ vx^2 + 2 g h }/g + vx/g \right) vy$ が得られる。
  これに代入してみよう。
```
l( 1.5 * sin (30/180*%pi), 1.5 * cos (30/180*%pi), 2.1 );
float( subst( 9.8, g, %) );
```
  答えは 0.60 [m]
2. 同様に計算する。
```
l( 1.5 * sin (30/180*%pi), -1.5 * cos (30/180*%pi), 2.1 );
float( subst( 9.8, g, %) );
```
  答えは 0.40 [m]
3. 等速円運動をしているとした時の向心加速度と重力加速度をベクトル的に足して大きさを調べる。
```
sqrt( (1.5^2/1.2 * cos(30/180*%pi))^2 + (1.5^2/1.2 * sin(30/180*%pi) + 9.8 )^2 );
```
  答えは 10.9 [m/s^2]
4. 題意から 9.8 [m/s^2]
※ この問題では、等速円運動をしている物体が投石機から離れることを前提としている。
しかし、それは自明ではなく、確かめなければならない。
ここでは、石を支えていた部分が急に外れたとして考えた。

↑

04.64 †

準備: エンジンが故障するまでは直線上を等加速度運動すると考える。
すると速さは
```
100+30*3;
```
190 [m/s] であり、進んだ距離は
```
1/2 * 30 * 3^2 + 100 * 3;
```
435 [m] である。高度はこれに sin 53°をかけて得られる。
```
float( 435 * sin (53/180* %pi) );
```
したがってこのときの高度は 347 [m]である。
また、速度の水平成分、鉛直成分は
```
float( 190 * cos(53/180* %pi) );
float( 190 * sin(53/180* %pi) );
```
から、( 114[m/s], 152[m/s] )となる。最高点に達するまでの時間は、
```
152/9.8;
```
15.5[s]となる。

04.61 の結果を流用する。

t1(vy)   := vy/g;
t2(vy,h) := sqrt( vy^2 + 2 * g * h )/g;

であるから、最初の3 秒と合わせて、

t1(152) + t2( 152,347) + 3;
float( subst( 9.8, g, %) );

36.2[s] を得る。

ロケットが故障するまでの到達距離と故障してからの到達距離の合計を求める。
```
435 * cos(53/180*%pi) + 36.2 * 190 * cos(53/180*%pi);
```
答えは、 $4.40 \times 10^3$ [m]

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04.66 †

準備:
水平( $x$ )方向 : $x(t) = v_o \cos 35^o t$
鉛直( $y$ )方向 : $y(t) = v_o \sin 35^o t - \frac{1}{2} g t^2$

$v_o, t$ が未知数である。

solve( [ 130 = vo * cos(35/180*%pi) * t, 20 = vo * sin(35/180*%pi) * t - 1/2 * 9.8 * t^2], [vo, t]);
float(%);

これらから、 $v_o = 41.7$ [m/s], $t = 3.81$ [s]

既に求めた。

$y$ 方向の速度だけ変化する。

atan2( 41.7 * sin(35/180*%pi) - 9.8 * 3.81, 41.7 * cos(35/180*%pi));

答えは -21.4 [m/s]

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04.78 †

準備:
屋根から飛び出したときの速さを $v$ とする。また、屋根で滑っていた時間を $t_1$ 空中に浮いていた時間を $t_2$ とする。すると、これらの量について、次の式が成り立つ。
$8 {\rm m} = 1/2 \times 5 {\rm m/s^2} \times t_1^2$
$v = 5 {\rm m/s^2} \times t_1$
$0 = 6 {\rm m} - v \times \sin 37^o \times t_2 - 1/2 \times 9.8{\rm m/s^2} \times t_2^2$
$d = v \times \cos 37^o \times t_2$
これらを解く。
```
solve( [8 = 1/2 * 5 * t1^2, v = 5 * t1, 0 = 6 -v * sin(37/180*%pi) * t2 - 1/2 * 9.8 * t2^2, d = v * cos(37/180*%pi) * t2],
[t1, t2, d, v]);
float(%);
```
以上から $ t_1 = 1.79[s], t_2 = 0.69[s], v = 8.94[m/s], d = 4.90[m]$

上記の $t_2$ を用いると、求める速さは次のようになる。

sqrt( (8.94 * sin(37/180*%pi) + 9.8 * 0.686)^2 + (8.94 * cos(37/180*%pi))^2);
float(%);

答え 14.1 m/s

上記の $t_2$ から 0.69[s]
上記の $d$ から 4.90[m]

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04.83 †

準備
鼠が自由落下を始めた時を $t=0$ とする。鷹の降下する速度を $(v_x, v_y)$ とし、鷹が再び鼠をとらえた時刻を $t$ とする。すると、次のような式が成り立つ。
$v_y (t-2[{\rm s}]) = \frac{1}{2}g t^2 = 197 [{\rm m}]$
これから次のように $v_y, t$ が求められる。
```
solve( [197 = 1/2 * 9.8 * t^2, vy * (t-2) = 197 ], [t,vy]);
```
$t$ = 6.34[s], $v_y$ = 45.4 [m/s]
次に、同じ時間で x 方向にどれだけ進んだかを考える。鼠と鷹とで移動距離が等しいので、次の式が成り立つ。
$v_x (t-2[{\rm s]]) + (2 * 10.0) [{\rm m}] = (10.0 * 6.34) [m]$ これから次のように $v_x$ が求められる。
```
solve( vx * (6.34-2) + 2 * 10.0 = 10.0 * 6.34, vx );
```
よって、 $v_x$ = 10.0 [m/s]