講義のページ/量子力学/水素原子
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** 水素原子(定常) [#rd1c2b27]
*** 波動関数の変数分離 [#s8e1d9e8]
- 固有関数と観測値~
ボルンの規則によって、観測される物理量は「固有値」になる...
~
- 変数分離─時間について─~
~
波動関数$ \psi $について、変数分離を仮定する。すなわち、$...
$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = \left(-\frac{...
は、次のようになる。~
$ \left( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi_t \right...
両辺を$ \psi = \psi_t \psi_s $で割る。~
$ \frac{1}{\psi_t}\left( i\hbar \frac{\partial}{\partial ...
左辺は$ t $だけの関数である。右辺は空間座標だけの関数であ...
(式1) $ i\hbar \frac{d}{d t} \psi_t = \varepsilon \psi_t $~
(式2) $ \varepsilon \psi_s = \left{ -\frac{\hbar^2}{2m}\l...
~
(式1) は、簡単な微分方程式で、$ \psi_t = A e^{-i\frac{\va...
~
~
- 変数分離─空間座標について─~
~
波動関数を$ \psi_s(r, \theta, \phi) = R(r)Y(\theta,\phi) ...
~
-- $ R(r) $と球面調和関数$ Y(\theta,\phi) $~
~
上に書いた$ \psi_s $を(式2) に代入する。$ Y(\theta,\phi) ...
~
$ \varepsilon R(r)Y(\theta,\phi) $~
$ = -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2}{\partial ...
$ = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\left( \frac{\partial^2}{\pa...
両辺を$ R(r)Y(\theta,\phi) $で割り、$ r^2 $をかける。~
$ \varepsilon r^2 = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{r^2}{R...
$ \frac{r^2}{R(r)}\left( \frac{\partial^2}{\partial r^2} ...
この式の左辺は$ r $だけの関数であり、右辺は$ \theta, \phi...
$ \left( \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}...
(式3) $ \left( \frac{d^2}{d r^2} + \frac{2}{r}\frac{d}{d ...
(式4) $ \left( \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d \theta} \le...
~
~
~
-- 球面調和関数$ Y(\theta,\phi) $~
(式4) に着目し$ Y(\theta,\phi) = \Theta(\theta)\Phi(\phi)...
~
$ \left( \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \th...
$ \sin^2 \theta $をかけて、全体を$ \Theta(\theta)\Phi(\p...
$ \frac{1}{\Theta(\theta)}\left( {\sin\theta}\frac{\parti...
$ \frac{1}{\Theta(\theta)}\left( {\sin\theta}\frac{\parti...
例によって、左辺は$ \theta $だけの関数であり、右辺は$ \ph...
~
(式5) $ {\sin\theta}\frac{d}{d \theta} \left( \sin \theta...
(式6) $ \frac{d^2}{d \phi^2}\Phi(\phi) = - m^2 \Phi(\phi)...
~
ここで$ m $が現れたが、電子の質量も同じ文字を当てている。...
~
- 分離定数の決定~
分離定数$ \epsilon, \lambda, m $が現れた。それらは相互に...
-- $ m $ の決定~
これらのうち、$ m $は単独で決められる。
(式6) から、$ m=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots $として、$ \Ph...
~
・ この$ m $を&color(red){磁気量子数};という。~
~
-- $ \lambda $ の決定~
(式5) で$ z = \cos\theta $とする。$ dz = - \sin \theta d\...
$ \left( \left(\frac{d}{dz} (1-z^2) \frac{d}{dz} \right) ...
あるいは、
$ \left( \left(\frac{d}{dz} (1-z^2) \frac{d}{dz} \right) ...
となる。これは、ストゥルム・リウビル型の微分方程式であり...
・ この$ \ell $を&color(red){方位量子数};という。~
・ $ \lambda = \ell( \ell +1 ),\ \ \ell \geq m $ である...
・ $ m, \ell $が与えられたときの$ \Theta(z) $は、$ m=0 $...
~
-- $ \varepsilon $ の決定~
$ m, \ell $が決まると、(式2) から$ \varepsilon $ を含む微...
・ エネルギー固有値は、$ n > \ell $を満足する自然数として...
・ この$ n $を&color(red){主量子数};という。~
・ 固有関数はラゲール(陪)多項式で書ける。~
~
*** 固有値・固有関数の数値計算 [#fbc772a4]
- 基本的な考え方~
2階の微分方程式を差分化して、適当な境界条件を与えることで...
詳細は[[Google Colaboratoryのページ>https://colab.researc...
~
以下の結果の固有値・固有関数の対応関係:固有関数の色が濃...
~
- $ \Phi(\phi) $について~
$ \frac{d^2}{d \phi^2}\Phi(\phi) = - m^2 \Phi(\phi) $を差...
~
-- 固有値~
はじめの5つは、 -5.684342e-13 -1.019962e+00 -1.019962e+00...
-- 固有関数(固有ベクトル)~
値が一定の固有ベクトルは、固有値ゼロに対応し、図中に周期1...
&ref(EigenVector_Phi.png,,30%);~
~
- $ \Theta(z) $について~
-- m=0 のとき~
--- 固有値~
結果は、-1.148186e-12 -2.003484e+00 -6.024642e+00 -1.2095...
--- 固有関数(固有ベクトル)~
&ref(EigenVector_Theta_m0.png,,30%);~
~
-- m$ \neq $0 のとき(例としてm=1)
--- 固有値~
結果は、 -2.015135 -6.072417 -12.191490 -20.383626 -30.6...
--- 固有関数(固有ベクトル)~
&ref(EigenVector_Theta_m1.png,,30%);~
~
- $ R(r) $について~
-- $ \ell = 0 $の場合
--- 固有値~
結果は、 0.9992836 0.2499552 0.1111023 となった。おおよそ...
--- 固有関数(固有ベクトル)~
&ref(EigenVector_R_l0.png,,30%);~
-- $ \ell = 1 $の場合
--- 固有値~
結果は、0.25001495 0.11111800 0.06250354 となった。おおよ...
--- 固有関数(固有ベクトル)~
&ref(EigenVector_R_l1.png,,30%);~
~
*** 球面調和関数 [#u8b80eab]
- 球面調和関数とは~
-- (式4) から $ \left( \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d \th...
-- 固有関数についての結果から$ \ell, m $ を指定する必要が...
-- $ m=0 $ の球面調和関数は、東西方向には変化せず、南北方...
-- $ m=\ell $ の球面調和関数は、東西方向に変化する。~
~
- 球面調和関数$ Y_\ell^m(\theta,\phi) $の表示~
※ 下の画像をクリックすると、インタラクティブにマウスで操...
#style(class=table_left)
| | $ \ell=0 $ | $ \ell=1 $ | $ \ell=2 $ | $ \ell=3 $ |h
|$ m = 0 $|[[&ref(https://robo.mydns.jp/Lecture/HTML/Sphe...
|$ m = 1 $|CENTER:─|[[&ref(https://robo.mydns.jp/Lecture/...
|$ m = 2 $|CENTER:─|CENTER:─|[[&ref(https://robo.mydns.jp...
|$ m = 3 $|CENTER:─|CENTER:─|CENTER:─|[[&ref(https://robo...
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** 水素原子(定常) [#rd1c2b27]
*** 波動関数の変数分離 [#s8e1d9e8]
- 固有関数と観測値~
ボルンの規則によって、観測される物理量は「固有値」になる...
~
- 変数分離─時間について─~
~
波動関数$ \psi $について、変数分離を仮定する。すなわち、$...
$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = \left(-\frac{...
は、次のようになる。~
$ \left( i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi_t \right...
両辺を$ \psi = \psi_t \psi_s $で割る。~
$ \frac{1}{\psi_t}\left( i\hbar \frac{\partial}{\partial ...
左辺は$ t $だけの関数である。右辺は空間座標だけの関数であ...
(式1) $ i\hbar \frac{d}{d t} \psi_t = \varepsilon \psi_t $~
(式2) $ \varepsilon \psi_s = \left{ -\frac{\hbar^2}{2m}\l...
~
(式1) は、簡単な微分方程式で、$ \psi_t = A e^{-i\frac{\va...
~
~
- 変数分離─空間座標について─~
~
波動関数を$ \psi_s(r, \theta, \phi) = R(r)Y(\theta,\phi) ...
~
-- $ R(r) $と球面調和関数$ Y(\theta,\phi) $~
~
上に書いた$ \psi_s $を(式2) に代入する。$ Y(\theta,\phi) ...
~
$ \varepsilon R(r)Y(\theta,\phi) $~
$ = -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2}{\partial ...
$ = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\left( \frac{\partial^2}{\pa...
両辺を$ R(r)Y(\theta,\phi) $で割り、$ r^2 $をかける。~
$ \varepsilon r^2 = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{r^2}{R...
$ \frac{r^2}{R(r)}\left( \frac{\partial^2}{\partial r^2} ...
この式の左辺は$ r $だけの関数であり、右辺は$ \theta, \phi...
$ \left( \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}...
(式3) $ \left( \frac{d^2}{d r^2} + \frac{2}{r}\frac{d}{d ...
(式4) $ \left( \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d \theta} \le...
~
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~
-- 球面調和関数$ Y(\theta,\phi) $~
(式4) に着目し$ Y(\theta,\phi) = \Theta(\theta)\Phi(\phi)...
~
$ \left( \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \th...
$ \sin^2 \theta $をかけて、全体を$ \Theta(\theta)\Phi(\p...
$ \frac{1}{\Theta(\theta)}\left( {\sin\theta}\frac{\parti...
$ \frac{1}{\Theta(\theta)}\left( {\sin\theta}\frac{\parti...
例によって、左辺は$ \theta $だけの関数であり、右辺は$ \ph...
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(式5) $ {\sin\theta}\frac{d}{d \theta} \left( \sin \theta...
(式6) $ \frac{d^2}{d \phi^2}\Phi(\phi) = - m^2 \Phi(\phi)...
~
ここで$ m $が現れたが、電子の質量も同じ文字を当てている。...
~
- 分離定数の決定~
分離定数$ \epsilon, \lambda, m $が現れた。それらは相互に...
-- $ m $ の決定~
これらのうち、$ m $は単独で決められる。
(式6) から、$ m=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots $として、$ \Ph...
~
・ この$ m $を&color(red){磁気量子数};という。~
~
-- $ \lambda $ の決定~
(式5) で$ z = \cos\theta $とする。$ dz = - \sin \theta d\...
$ \left( \left(\frac{d}{dz} (1-z^2) \frac{d}{dz} \right) ...
あるいは、
$ \left( \left(\frac{d}{dz} (1-z^2) \frac{d}{dz} \right) ...
となる。これは、ストゥルム・リウビル型の微分方程式であり...
・ この$ \ell $を&color(red){方位量子数};という。~
・ $ \lambda = \ell( \ell +1 ),\ \ \ell \geq m $ である...
・ $ m, \ell $が与えられたときの$ \Theta(z) $は、$ m=0 $...
~
-- $ \varepsilon $ の決定~
$ m, \ell $が決まると、(式2) から$ \varepsilon $ を含む微...
・ エネルギー固有値は、$ n > \ell $を満足する自然数として...
・ この$ n $を&color(red){主量子数};という。~
・ 固有関数はラゲール(陪)多項式で書ける。~
~
*** 固有値・固有関数の数値計算 [#fbc772a4]
- 基本的な考え方~
2階の微分方程式を差分化して、適当な境界条件を与えることで...
詳細は[[Google Colaboratoryのページ>https://colab.researc...
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以下の結果の固有値・固有関数の対応関係:固有関数の色が濃...
~
- $ \Phi(\phi) $について~
$ \frac{d^2}{d \phi^2}\Phi(\phi) = - m^2 \Phi(\phi) $を差...
~
-- 固有値~
はじめの5つは、 -5.684342e-13 -1.019962e+00 -1.019962e+00...
-- 固有関数(固有ベクトル)~
値が一定の固有ベクトルは、固有値ゼロに対応し、図中に周期1...
&ref(EigenVector_Phi.png,,30%);~
~
- $ \Theta(z) $について~
-- m=0 のとき~
--- 固有値~
結果は、-1.148186e-12 -2.003484e+00 -6.024642e+00 -1.2095...
--- 固有関数(固有ベクトル)~
&ref(EigenVector_Theta_m0.png,,30%);~
~
-- m$ \neq $0 のとき(例としてm=1)
--- 固有値~
結果は、 -2.015135 -6.072417 -12.191490 -20.383626 -30.6...
--- 固有関数(固有ベクトル)~
&ref(EigenVector_Theta_m1.png,,30%);~
~
- $ R(r) $について~
-- $ \ell = 0 $の場合
--- 固有値~
結果は、 0.9992836 0.2499552 0.1111023 となった。おおよそ...
--- 固有関数(固有ベクトル)~
&ref(EigenVector_R_l0.png,,30%);~
-- $ \ell = 1 $の場合
--- 固有値~
結果は、0.25001495 0.11111800 0.06250354 となった。おおよ...
--- 固有関数(固有ベクトル)~
&ref(EigenVector_R_l1.png,,30%);~
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*** 球面調和関数 [#u8b80eab]
- 球面調和関数とは~
-- (式4) から $ \left( \frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d \th...
-- 固有関数についての結果から$ \ell, m $ を指定する必要が...
-- $ m=0 $ の球面調和関数は、東西方向には変化せず、南北方...
-- $ m=\ell $ の球面調和関数は、東西方向に変化する。~
~
- 球面調和関数$ Y_\ell^m(\theta,\phi) $の表示~
※ 下の画像をクリックすると、インタラクティブにマウスで操...
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| | $ \ell=0 $ | $ \ell=1 $ | $ \ell=2 $ | $ \ell=3 $ |h
|$ m = 0 $|[[&ref(https://robo.mydns.jp/Lecture/HTML/Sphe...
|$ m = 1 $|CENTER:─|[[&ref(https://robo.mydns.jp/Lecture/...
|$ m = 2 $|CENTER:─|CENTER:─|[[&ref(https://robo.mydns.jp...
|$ m = 3 $|CENTER:─|CENTER:─|CENTER:─|[[&ref(https://robo...
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