講義のページ/量子力学/1次元の非定常問題
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* シュレディンガー方程式の数値積分〜1次元の非定常問題 [#y...
** 概要 [#l8ec04b8]
*** 数式による理解 [#kd9e7a1e]
- 1次元のシュレディンガー方程式~
$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = \left(-\frac{...
シュレディンガー方程式は時間発展方程式の形をしている。そ...
~
- 分散関係~
// ポテンシャル$ V(x) =0 $の場合、波動解$ \psi = \psi_0 \...
ポテンシャル$ V(x) =0 $の場合、波動解$ \psi = \psi_0 e^{i...
-- $ V=0 $の場合~
$ \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} $
~
--- 位相速度$ c $~
分散関係から$ c \equiv \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{...
~
--- 群速度$ c_g $~
分散関係から$ c_g \equiv \frac{\partial \omega}{\partial ...
ド・ブロイの関係式から、$ \hbar k $が運動量であるので、こ...
~
-- $ V\neq 0 $の場合~
$ \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} + \frac{V}{\hbar} $
~
--- 位相速度$ c $~
分散関係から$ c \equiv \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{...
・ ポテンシャルエネルギー(正)があると、無い場合よりも位...
・ ポテンシャルエネルギー(正)がある場合、波数が小さくな...
~
--- 群速度$ c_g $~
分散関係から$ c_g \equiv \frac{\partial \omega}{\partial ...
~
- 波の振る舞い~
波動関数を実部$ \psi_r $と虚部$ \psi_i $に分けて考える。~
$ +\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi_r = \left(- \f...
$ -\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi_i = \left(- \f...
~
波型の解を仮定すると、$ x $で2回微分すると符号が逆転する...
~
*** プログラミング [#o964e0af]
- 計算機環境
-- Google Colaboratory
-- R + deSolve の ode
-- [[ソースプログラム>https://colab.research.google.com/d...
--- 利用方法:上記サイトに Google のIDでサインインしてか...
- パラメタなど
-- 周期境界条件にした
-- 計算領域は
-- 方程式の性質を調べるために、$ \hbar = 1, m=1 $とした。
** 結果 [#he0d9745]
*** 1. 自由粒子 [#ke55cf3b]
- 設定~
V(x)=0 とした。([[プログラムへのリンク>https://colab.rese...
- アニメーション~
ポイント:~
1. 赤:実部、青:虚部、黒:実部と虚部をそれぞれ2乗して合...
2. 波は虚部(青)が実部(赤)に対して1/4波長先行している...
3. 波束はばらけ、位置は時間とともにわかりにくくなる。~
4. 波束(黒)の方が、実部・虚部の波の速さよりも速い。~
5. 波束の速さは 10 であり、位相速度は 5 である。~
6. 波束の先頭は波数が大きい(波長は短い)が、波束の後端は...
&ref(FreeParticle.png,,50%);~
&ref(Free_anim10051.png,,50%);~
- x-t ダイアグラム~
#style(class=table_left)
|実部 | 実部の2乗+虚部の2乗 |h
|&ref(Free_Real_xt.png,,30%);|&ref(Free_Packet_xt.png,,30...
#clear
*** 2. 箱型の障壁 [#j207cf61]
- 設定~
4.5〜5.5 に V(x)=150 の障壁を置いた。([[プログラムへのリ...
- アニメーション~
ポイント:~
1. 赤:実部、青:虚部、黒:実部と虚部をそれぞれ2乗して合...
2. 4.5〜5.5の障壁の両端で反射が起こる。~
3. 反射波があるところでは干渉が起きている。~
4. 4.5〜5.5の障壁の中でも、振動数$ \omega $はほぼ一定であ...
&ref(BOX.png,,50%);~
- x-t ダイアグラム~
#style(class=table_left)
|実部 | 実部の2乗+虚部の2乗 |h
|&ref(Box_Real_xt.png,,30%);|&ref(Box_Packet_xt.png,,30%);|
~
*** 3. 高いポテンシャルでの反射 [#eaa7c135]
- 設定~
0〜0.5 と 9.5〜10 に V=1000 の障壁を置いた。([[プログラム...
- アニメーション~
ポイント:~
1. 赤:実部、青:虚部、黒:実部と虚部をそれぞれ2乗して合...
2. 9.5で反射が起こる。~
3. 干渉が起きる。~
4. 干渉の幅は、時間とともに広がっていく。時間が経つと遅い...
&ref(Wall.png,,50%);~
- x-t ダイアグラム~
#style(class=table_left)
|実部 | 実部の2乗+虚部の2乗 |h
|&ref(Wall_Real_xt.png,,30%);|&ref(Wall_Packet_xt.png,,30...
~
*** 4. 調和振動子ポテンシャル [#qbd9060e]
- 設定~
調和振動子ポテンシャルを、古典論で計算して、ちょうど周期...
- アニメーション~
ポイント:~
1. 赤:実部、青:虚部、黒:実部と虚部をそれぞれ2乗して合...
2. ポテンシャルを$ V(x) = \frac{1}{2} a x^2 $とする。調和...
3. 波束は崩壊しない。~
4. 折り返す点の周辺では、波長が長くなる(波数と運動量がゼ...
5. 一方、波動関数の振動数は、あまり変わらない。~
6. 上の2つの結果、折り返す点の周辺では位相速度が大きくな...
&ref(Harmonic.png,,50%);~
- x-t ダイアグラム~
#style(class=table_left)
|実部 | 実部の2乗+虚部の2乗 |h
|&ref(Harmonic_Real_xt.png,,30%);|&ref(Harmonic_Packet_xt...
~
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* シュレディンガー方程式の数値積分〜1次元の非定常問題 [#y...
** 概要 [#l8ec04b8]
*** 数式による理解 [#kd9e7a1e]
- 1次元のシュレディンガー方程式~
$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi = \left(-\frac{...
シュレディンガー方程式は時間発展方程式の形をしている。そ...
~
- 分散関係~
// ポテンシャル$ V(x) =0 $の場合、波動解$ \psi = \psi_0 \...
ポテンシャル$ V(x) =0 $の場合、波動解$ \psi = \psi_0 e^{i...
-- $ V=0 $の場合~
$ \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} $
~
--- 位相速度$ c $~
分散関係から$ c \equiv \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{...
~
--- 群速度$ c_g $~
分散関係から$ c_g \equiv \frac{\partial \omega}{\partial ...
ド・ブロイの関係式から、$ \hbar k $が運動量であるので、こ...
~
-- $ V\neq 0 $の場合~
$ \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} + \frac{V}{\hbar} $
~
--- 位相速度$ c $~
分散関係から$ c \equiv \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{...
・ ポテンシャルエネルギー(正)があると、無い場合よりも位...
・ ポテンシャルエネルギー(正)がある場合、波数が小さくな...
~
--- 群速度$ c_g $~
分散関係から$ c_g \equiv \frac{\partial \omega}{\partial ...
~
- 波の振る舞い~
波動関数を実部$ \psi_r $と虚部$ \psi_i $に分けて考える。~
$ +\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi_r = \left(- \f...
$ -\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi_i = \left(- \f...
~
波型の解を仮定すると、$ x $で2回微分すると符号が逆転する...
~
*** プログラミング [#o964e0af]
- 計算機環境
-- Google Colaboratory
-- R + deSolve の ode
-- [[ソースプログラム>https://colab.research.google.com/d...
--- 利用方法:上記サイトに Google のIDでサインインしてか...
- パラメタなど
-- 周期境界条件にした
-- 計算領域は
-- 方程式の性質を調べるために、$ \hbar = 1, m=1 $とした。
** 結果 [#he0d9745]
*** 1. 自由粒子 [#ke55cf3b]
- 設定~
V(x)=0 とした。([[プログラムへのリンク>https://colab.rese...
- アニメーション~
ポイント:~
1. 赤:実部、青:虚部、黒:実部と虚部をそれぞれ2乗して合...
2. 波は虚部(青)が実部(赤)に対して1/4波長先行している...
3. 波束はばらけ、位置は時間とともにわかりにくくなる。~
4. 波束(黒)の方が、実部・虚部の波の速さよりも速い。~
5. 波束の速さは 10 であり、位相速度は 5 である。~
6. 波束の先頭は波数が大きい(波長は短い)が、波束の後端は...
&ref(FreeParticle.png,,50%);~
&ref(Free_anim10051.png,,50%);~
- x-t ダイアグラム~
#style(class=table_left)
|実部 | 実部の2乗+虚部の2乗 |h
|&ref(Free_Real_xt.png,,30%);|&ref(Free_Packet_xt.png,,30...
#clear
*** 2. 箱型の障壁 [#j207cf61]
- 設定~
4.5〜5.5 に V(x)=150 の障壁を置いた。([[プログラムへのリ...
- アニメーション~
ポイント:~
1. 赤:実部、青:虚部、黒:実部と虚部をそれぞれ2乗して合...
2. 4.5〜5.5の障壁の両端で反射が起こる。~
3. 反射波があるところでは干渉が起きている。~
4. 4.5〜5.5の障壁の中でも、振動数$ \omega $はほぼ一定であ...
&ref(BOX.png,,50%);~
- x-t ダイアグラム~
#style(class=table_left)
|実部 | 実部の2乗+虚部の2乗 |h
|&ref(Box_Real_xt.png,,30%);|&ref(Box_Packet_xt.png,,30%);|
~
*** 3. 高いポテンシャルでの反射 [#eaa7c135]
- 設定~
0〜0.5 と 9.5〜10 に V=1000 の障壁を置いた。([[プログラム...
- アニメーション~
ポイント:~
1. 赤:実部、青:虚部、黒:実部と虚部をそれぞれ2乗して合...
2. 9.5で反射が起こる。~
3. 干渉が起きる。~
4. 干渉の幅は、時間とともに広がっていく。時間が経つと遅い...
&ref(Wall.png,,50%);~
- x-t ダイアグラム~
#style(class=table_left)
|実部 | 実部の2乗+虚部の2乗 |h
|&ref(Wall_Real_xt.png,,30%);|&ref(Wall_Packet_xt.png,,30...
~
*** 4. 調和振動子ポテンシャル [#qbd9060e]
- 設定~
調和振動子ポテンシャルを、古典論で計算して、ちょうど周期...
- アニメーション~
ポイント:~
1. 赤:実部、青:虚部、黒:実部と虚部をそれぞれ2乗して合...
2. ポテンシャルを$ V(x) = \frac{1}{2} a x^2 $とする。調和...
3. 波束は崩壊しない。~
4. 折り返す点の周辺では、波長が長くなる(波数と運動量がゼ...
5. 一方、波動関数の振動数は、あまり変わらない。~
6. 上の2つの結果、折り返す点の周辺では位相速度が大きくな...
&ref(Harmonic.png,,50%);~
- x-t ダイアグラム~
#style(class=table_left)
|実部 | 実部の2乗+虚部の2乗 |h
|&ref(Harmonic_Real_xt.png,,30%);|&ref(Harmonic_Packet_xt...
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